Differentialrechnung mit mehreren Variablen?
Hallo Zusammen,
ich wäre froh, wenn ihr mir kurz könntet erklären, wie ich bei folgender Aufgabe vorgehen muss:
Mir ist klar, dass ich mit der linearen Approximation vorgehen muss und eben die Gleichung für die Tangentenebene aufstellen muss.
Aber sobald man *(x - 4) und *(y-3) heben sich beim einsetzen von (4,3) diese Parameter logischerweise auf.
Wie muss ich also vorgehen, damit ich auf die Lösung von "Näherungswert = 2.9232 " erhalte?
Ich danke für eine Antwort
1 Antwort
Dein Problem ist, dass du mit 25^(⅓) nicht weiter kommst. Und abgeleitet hast du auch falsch:
∂f(x, y)/(∂x) = 1/3 (x² + y²)^(⅓–1) 2 x
∂f(x, y)/(∂x) = 2 x (x² + y²)^(–⅔) / 3
analog für y.
Du musst schauen, dass du "schöne" Zahlen erhälst.
Betrachten wir die Funktion
f(x, y) = (x² + y² + 2)^(⅓).
Wir wollen eine lineare Approximation für den Stelle (4.05, 2.93) berechnen.
Dafür benötigen wir erst einmal das (totale) Differenzial
df(x, y) = ∂f(x, y)/(∂x) dx + ∂f(x, y)/(∂y) dy
df(x, y) = 1/3 (x² + y² + 2)^(–⅔) (2 x dx + 2 y dy)
Nun setzen wir ein
df(4, 3) = 1/3 (4² + 3² + 2)^(–⅔) (2 • 4 dx + 2 • 3 • dy)
df(4, 3) = 1/3 27^(–⅔) (8 dx + 6 dy)
df(4, 3) = (8 dx 6 dy) / 27
Damit gilt
f(4.05, 2.93) ≈ f(4, 3) + df(4, 3)|(dx=0.05, dy=–0,07)
f(4.05, 2.93) ≈ (4² + 3² + 2)^(⅓) + (8 • 0,05 + 6 • (–0,07)) / 27
f(4.05, 2.93) ≈ 3 + (0,4 – 0,42) / 27
f(4.05, 2.93) ≈ (81 – 0,02) / 27
f(4.05, 2.93) ≈ 8008 / 2700 = 2.96(592)
Den letzten Ausdruck kannst du per schriftlicher Division als Dezimalzahl darstellen (Periode in Klammern).
Ich habe eine etwas andere Lösung, allerdings sind auch hier die ersten zwei Stellen korrekt.
Die Lösung, die du angegeben hast, ist die "genaue" Näherungslösung. Die werden wie aber nicht mit der linearen Approximation erhalten.
Ich danke Dir für diese ausführliche Antwort :)