Die Schreibweise einer Hyperebene
Ich hätte eine Frage zur unten angegebenen Schreibweise einer Hyperebene (außerdem gilt: V ist Vektorraum, 0 ≠ c ∈ V, α ∈ IR).
In einer Aufgabe sollte im IR³ geprüft werden, ob es einen Schnittpunkt zwischen einer Gerade und einer bestimmten Hyperebene gibt. Dazu wurde das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor der Gerade und dem Vektor c der Hyperebene aus der unteren Schreibweise gebildet. Dieses war 0, somit mussten Hyperebene und Gerade parallel sein und es konnte keinen Schnittpunkt geben.
Bedeutet dies, dass c im Dreidimensionalen quasi der Normalvektor ist, der senkrecht auf der Ebene steht bzw. (auch in anderen Dimensionen) angibt, in welche Richtung/Dimension die Hyperebene nicht "vorstößt"?
(P.S.: Hausaufgabe? Haha... Diese Aufgabe ist meilenweit über dem Schulstoff. Also unterstellt mir nicht nochmal so einen Unfug. Außerdem habe ich die Aufgabe bereits gelöst und mir geht es um das korrekte Verständnis. Somit sollte ich hier durchaus richtig sein!)
4 Antworten
Ich stimme Melvissimo und Joochen zu, dass c Normalenvektor der Menge H ist.
Mit der Begriffswahl "Hyperebene" habe ich allerdings Schwierigkeiten, denn eine Hyperebene ist normalerweise ein Untervektorraum eines vorgegebenen Vektorraums, hier also V, und enthält also den Nullvektor); das ist für α≠0 aber nicht der Fall, so dass das H der vorgelegten Defintion nicht im Allgemeinen eine Hyperebene ist.
Ferner ist H nicht so sonderlich "hyper", wenn sich das Ganze im IR³ abspielt. Vielmehr entspricht die Definition von H dann der einer geometrisch deutbaren (affinen Anschauungs-) Ebene.
Wenn v der Richtungsvektor einer Gerade g ist, weist σ(c, v) = 0 auch nicht nach, dass die Gerade und H disjunkt (elementefremd) sind, denn wenn in diesem Fall ein Punkt von g in H liegt, dann ganz g; somit gibt es unendlich viele "Schnittpunkte" (die gewöhnlich als gemeinsame Punkte definiert sind). Nachgewiesen ist mit σ(c, v) = 0 lediglich, dass es nicht genau einen gemeinsamen Punkt gibt.
Das lässt mich nun wieder vom Deutschen her die Stirn runzeln. Wenn nach (mindestens) eine Punkt gefragt ist, den g und die Ebene gemeinsam haben, würde ich erwarten:
"Haben die beiden einen Punkt gemeinsam?" oder
"Haben die beiden einen Schnittpunkt?", vielleicht auch:
"Haben die beiden einen Schnittpunkt gemeinsam?"
(...was schon pleonastisch ist, denn jeder Schnittpunkt ist ein gemeinsamer Punkt). - Wenn da aber steht:
"Haben die beiden einen gemeinsamen Schnittpunkt?",
frage ich intuitiv: Mit wem oder was denn? - Gibt es noch ein drittes, bis jetzt nicht erwähntes Objekt x so, dass ein Schnittpunkt der Ebene mit x auch Schnittpunkt von g und x sein kann? Dann wäre diese Formulierung sinnvoll. Oder ist das auch bloß schlampig formuliert?
Ja stimmt, gemeinsamer Schnittpunkt ist in der Tat doppelt gemoppelt.
Nein, es gibt nur zwei Objekte: "Sei G:=... eine Gerade und H:=... Hyperebene im Vektorraum... Haben die beiden einen gemeinsamen Schnittpunkt?"
Ok... dann brauche ich auch in die Formulierung nicht hineinzugeheimnissen.
Ich nehme an, dass das kleine Sigma das Standardskalarprodukt auf dem IR³ bezeichnen soll. Ich geh jetzt mal sehr schlampig mit den Bezeichnungen um:
Wenn c der Vektor (a | b | c) ist und x der Vektor (x | y | z), dann liegt der Vektor x genau dann auf der Hyperebene, wenn die Gleichung
ax + by + cz = α erfüllt ist, wie man direkt aus der Definition des Skalarproduktes folgern kann. Diese Koordinatenform einer Ebene im IR³ ist schon aus der Schulmathematik bekannt. Aus der Schule wissen wir auch, dass die Koeffizienten von x, y und z dabei einen Normalvektor der Ebene bilden.
Kurz: Ja, c ist ein Normalvektor.
Unter der Vorraussetzung, dass das kleine Sigma das Skalarprodukt bezeichnet, ist Deine Erklärung völlig richtig.
Ja, c ist Normalenvektor zu der Hyperebene. Wenn Du c auf die Länge 1 normierst, dann hast Du die Hessesche Normalform einer Hyperebene, und die rechte Seite ist ihr Abstand zum Ursprung.
Danke für den Hinweis mit der Hesse'schen Normalform. Die hätte ich demnächst behandelt. Jetzt kann ich dank dir mit dem Begriff schon etwas anfangen.
Besten Dank!
Danke für den Hinweis mit dem Fall, dass die Gerade in der Ebene liegen könnte. Das wird in der Lösung tatsächlich nicht erwähnt und wirkt etwas unsauber.
Die Fragestellung lautet "Haben die beiden einen gemeinsamen Schnittpunkt?". Aus Profseite könnte man nun natürlich argumentieren, dass gefragt ist, ob es "einen Schnittpunkt" gibt, aber dann hätte man nach "genau einen Schnittpunkt" fragen sollen. Wirkt tatsächlich etwas komisch... Danke dafür!