Schwerpunktsystem Anwendung?

Hallo,

ich habe ein paar Fragen zur Anwendung des Schwerpunktsystems bei Impulsen. Grundsätzlich habe ich verstanden, dass das System ganz praktisch ist, um zwischen dem Laborsystem beispielsweise zu wechseln und benötigte Werte zu errechnen. 

Erstmal wollte ich folgendes fragen. Man kann ja die Geschwindigkeit des Schwerpunktes berechnen. Aber wie stellt man sich das vor, ist das dann die Geschwindigkeit von beiden Körper aus dem Schwerpunkt x heraus? (wenn man diese vom Schwerpunkt starten würde). Dann kann man zwischen dem Labor und Schwerpunktsystem die jeweiligen Geschwindigkeiten berechnen. ich habe jedoch hier nicht ganz die Formel verstanden:

U soll die "Geschwindigkeiten" im Schwerpunktsystem bezeichnen und V die Geschwindigkeiten im Laborsystem. Dann soll gelten: u = v - v(s) (Geschwindigkeit im Schwerpunnktsystem). Hier verstehe ich nicht so ganz, wieso das so sein soll. Ist u und v jeweils die Addition der einzelnen Geschwindigkeiten im jeweiligen Bezugssystem?

Dann geht man ja davon aus, dass im Schwerpunkt die Massen ruhen, d.h, dass die Geschwindigkeit da für eine kurze Zeit 0 ist. Danach jedoch, wenn die Körper einen elastischen Stoß erfahren, soll der Betrag ihrer Geschwindigkeit gleich sein (wieso das?). Dann soll man mit der Formel v´= -v x 2v(s) die jeweiligen Geschwindigkeiten nach einem elastischen Stoß berechnen können. Ist das Minus hierbei wirklich ein Minus oder ein Minus im Sinne der Richtung des Impuls? 

Answer 1

[Clemens1973]

Grundsätzlich habe ich verstanden, dass das System ganz praktisch ist, um zwischen dem Laborsystem beispielsweise zu wechseln und benötigte Werte zu errechnen. 

Ja, das ist richtig, im Schwerpunktsystem werden gewisse Berechnungen besonders einfach. Bei einem inelastischen Stoss sind die beiden Stosspartner nach dem Stoss in Ruhe. In der Teilchenphysik z.B. wird dies verwendet: bei der Schwellenenergie -Mindestenergie für eine bestimmte Reaktion- sind die Teilchen im Schwerpunktsystem nach der Reaktion in Ruhe, haben also nur Ruhenergie. Die Summe dieser Ruheenergien entspricht auch der sg. invarianten Masse des Systems, über die man wiederum die nötigen Energien in anderen Bezugssystemen berechnen kann.

U soll die "Geschwindigkeiten" im Schwerpunktsystem bezeichnen und V die Geschwindigkeiten im Laborsystem. Dann soll gelten: u = v - v(s) (Geschwindigkeit im Schwerpunnktsystem). Hier verstehe ich nicht so ganz, wieso das so sein soll. Ist u und v jeweils die Addition der einzelnen Geschwindigkeiten im jeweiligen Bezugssystem?

Schau Dir die Definition des Schwerpunktes an. Sind v_i die Geschwindigkeiten in einem beliebigen Inertialsystem und v_S die Geschwindigkeit des Schwerpunkts in diesem System, dann sind u_i mit

$\vec{u}_i=\vec{v}_i-\vec{v}_\mathrm{S}$

die Geschwindigkeiten im Schwerpunktsystem. Denn dann gilt für die Geschwindigkeit des Schwerpunkts im zweiten System

$\vec{u}_\mathrm{S}=\frac{1}{M}\sum_i m_i\vec{u}_i=\frac{1}{M}\sum_i m_i(\vec{v}_i -\vec{v}_\mathrm{S})=\frac{1}{M}\sum_i m_i\vec{v}_i -\vec{v}_\mathrm{S}=\vec{v}_\mathrm{S}-\vec{v}_\mathrm{S}=0$

(M=Summe aller Massen).

Dann geht man ja davon aus, dass im Schwerpunkt die Massen ruhen, d.h, dass die Geschwindigkeit da für eine kurze Zeit 0 ist. 

Nein, das kann man nicht sagen. Die einzelnen Massen können sich beliebig bewegen, nur das Schwerpunktssystem zeichnet sich eben dadurch aus, dass der Schwerpunkt in diesem Bezugssystem ruht. Gibt es nur Wechselwirkungen zwischen den einzelnen Massen und keine von aussen angreifenden Kräfte, so wird der Schwerpunkt nicht beschleunigt und bleibt in Ruhe. Dies folgt aus dem Schwerpunktsatz:

https://de.wikipedia.org/wiki/Schwerpunktsatz

Danach jedoch, wenn die Körper einen elastischen Stoß erfahren, soll der Betrag ihrer Geschwindigkeit gleich sein (wieso das?). Dann soll man mit der Formel v´= -v x 2v(s) die jeweiligen Geschwindigkeiten nach einem elastischen Stoß berechnen können. 

Ich bin nicht ganz sicher, was für eine Beziehung Du hier meinst. Hat man zwei Körper mit gleicher Masse, die elastisch und zentral aufeinander stossen, so kehren sich im Schwerpunktssystem die Geschwindigkeiten einfach um, d.h. im eindimensionalen Fall wechseln sie das Vorzeichen. Im Schwerpunktsystem gilt also

$u_i'=-u_i$

und demzufolge in einem anderen Inertialsystem (ganz ausführlich)

$v_i'=u_i'+v_\mathrm{S}=-u_i+v_\mathrm{S}=-(v_i-v_\mathrm{S})+v_\mathrm{S}=-v_i+2v_\mathrm{S}$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[Johannes7131717]

Hey, danke für diese ausführliche Antwort.  Du redest hier von Geschwindigkeiten (bei der Formel ui...) aber wie würde man das nun anwenden. also meint man mit den Geschwindigkeiten die Addition beider Geschwindigkeiten in dem einen und anderen System? Und ich verstehe nicht ganz. Sagen wir mal ein elastischer Stoß liegt vor, so würden sich die beiden körper nach dem stoß mit denselben geschwindigkeiten in die entgegengesetzte richtungen bewegen, aber macht das Sinn? Beziehungsweise wie kann es sein, dass sich ein schwererer Körper dann gleich schnell wie ein leichter bewegt?

Bei den Umrechnung der Geschwindigkeitrn folgende Frage: sagen wir Mal ich habe vs= 10 km/h und vi 30 km/h

würde ich dann rechnen -30km/h + 20 km/h ? (setzt man das Minus wirklich ein oder gibt das in diesem Sinne nur eine Richtung an?)

[Clemens1973]

@Johannes7131717

(...) also meint man mit den Geschwindigkeiten die Addition beider Geschwindigkeiten in dem einen und anderen System?

v_i bzw. u_i sind die Geschwindigkeiten, die man im jeweiligen Bezugssystem misst. Oder welche Geschwindigkeiten meinst Du genau?

Sagen wir mal ein elastischer Stoß liegt vor, so würden sich die beiden körper nach dem stoß mit denselben geschwindigkeiten in die entgegengesetzte richtungen bewegen, aber macht das Sinn? Beziehungsweise wie kann es sein, dass sich ein schwererer Körper dann gleich schnell wie ein leichter bewegt?

Nur bei gleicher Masse haben die beiden Körper im Schwerpunktsystem den gleichen Geschwindigkeitsbetrag - die Impulse sind hingegen im einfachen Fall mit nur 2 Körpern immer entgegengesetzt gleich, der Gesamtimpuls muss ja im Schwerpunktsystem gleich null sein.

Die Geschwindigkeiten kehren sich nach dem Stoss um. Gilt z.B. m1=2kg und m2=1kg und betragen die Geschwindigkeiten im Schwerpunktsystem v1=1m/s, v2=2m/s, so gilt nach einem elastischen Stoss v1'=-1m/s, v2=-2m/s.

Bei den Umrechnung der Geschwindigkeitrn folgende Frage: sagen wir Mal ich habe vs= 10 km/h und vi 30 km/h würde ich dann rechnen -30km/h + 20 km/h ? (setzt man das Minus wirklich ein oder gibt das in diesem Sinne nur eine Richtung an?)

Wenn in einem Inertialsystem sich ein Körper mit v1=30km/h bewegt und der Schwerpunkt mit vS=10km/h, so bewegt sich im Schwerpunktsystem der Körper mit

u1=v1-vS=20km/h

genau wie oben angegeben. Der Geschwindigkeitsvektor kehrt sich um (Multiplikation mit -1), bzw. im eindimensionalen Fall ändert einfach das Vorzeichen.