Cauchyprodukt bei Reihen?

Ich verstehe nicht, wie man hier vorgeht

Answer 1

[BorisG2011]

Bei der Multiplikation von Polynomen einer Veränderlichen und auch bei der Multiplikation von Reihen kommt das Papierstreifenverfahren zum Einsatz, das in älteren Lehrbüchern ausführlich erklärt wird, in neueren Lehrwerken aber leider nicht mehr vorkommt.

Für das Papierstreifenverfahren verwendet man zwei Papierstreifen. Auf den einen schreibt man die Reihenkoeffizienten (bzw. die Polynomkoeffizienten) des ersten Faktors nach von rechts nach links auf. Im Beispiel:

$a_4\ \ a_3\ \ \ a_2\ \ \ a_1\ \ a_0\ \ \ a_{-1}$ Auf den anderen Streifen schreibtt man die Reihenkoeffizienten des zweiten Faktors von links nach rechts auf:

$\frac{1}{1!}\ \ \ \frac{1}{2!}\ \ \ \frac{1}{3!}\ \ \frac{1}{4!}$ Dabei ist darauf zu achten, dass auf beiden Steifen jeder Reihenkoeffizient gleich viel Platz einnimmt.

Nun legt man den zweiten Papierstreifen rechts unter den ersten und zwar so, dass a(-1) genau über 1/(1!) seht. Das sieht so aus:

a   a   a   a   a   a
 4   3   2   1   0   -1

                    1       1      1
                    -       -      -
                    1!      2!     3!

Die übereinander stehenden Koeffizienten werden miteinander multipliziert: Man erhält

$a_{-1}\ \cdot\ \frac{1}{1!}$ Das ist nun der erste Koeffizient der Produktreihe. Er ist mit dem Faktor z^ 0 multipliziert zu denken und anzuschreiben.

Sodann schiebt man den unteren Papierstreifen um eine Koeffizientenposition nach rechts. Man erhält:

a   a   a   a   a   a
 4   3   2   1   0   -1

                1     1      1
                -     -      -
                1!    2!     3!

Die übereinanderstehenden Koeffizienten werden miteinander multipliziert und die erhaltenen Produkte addiert. Man erhält:

$a_0\cdot\frac{1}{1!}\ +\ a_{-1}\ \cdot\frac{1}{2!}$ Das ist der zweite Koeffizient der Produktreihe. Er ist mit dem Faktor z^1 multipliziert zu denken. Man kann diesen Koeffizienten auch so schreiben:

$\sum_{n=1}^2a_{1-n}\cdot\frac{1}{n!}$

Wenn man den rechten Papierstreifen nochmals um eine Position nach rechts verschiebt, erhält man:

 a   a   a   a   a   a
  4   3   2   1   0   -1

             1    1   1
             -    -   -
             1!   2!  3!

Multiplikation der übereinander stehenden Koeffizienten und Summation ergibt:

$a_1\ \cdot\ \frac{1}{1!}\ +\ a_0\ \cdot\ \frac{1}{2!}\ +\ a_{-1}\cdot\frac{1}{3!}$ Das entspricht:

$\sum_{n=1}^3\ a_{2-n}\ \cdot\ \frac{1}{n!}$

In dieser Weise kann weitergerechnet werden.

Tipp: Nimm dir Papier und Schere und probiere die Papierstreifenmethode tatsächlich aus. Das ist sehr lehrreich undd das sollte man einmal im Leben gemacht haben - jedenfalls dann, wenn man sich auf ein mathelastiges Studium eingelassen hat. In späterer Zeit wirst du das auch deinen Kindern und Enkeln so vorrechnen können und sie werden dich loben und preisen!

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium der Mathematik

Comments

[Halbrecht]

Schande über die neueren Lehrbücher

Was hat diese Methode abgelöst ? Und warum ?
will man den jungen Purschen und Mätels so was mit Papier ( unhygienisch ? ) nicht mehr zu muten ?

Ich koche weiter mit dem Rechenschieber ! :))

[mathelust]

Herzlichen Dank, jetzt hab ich alles verstanden!