binomPdf ohne taschenrechner?

Ich hoffe dieses Frage ist nicht all zu doof.

Die Rechnung lautet: Eine Maschine stellt Schrauben her. Der Ausschussanteil beträgt 3%. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 10 Schrauben genau 4 Ausschussstücke sind?

Man kann ja theoretisch im Taschenrechner eingeben: binomPdf (10, 0.03, 4) dann kommt man auf die richtige Lösung (=0.000142)

Wie kann ich das rechnen ohne diese Funktion auf dem Taschenrechner? Dieses Summenzeichen (da dieses verkehrte E) dürfen wir verwenden, die binompdf funktion jedoch nicht..

Answer 1

[mihisu]

Die Wahrscheinlichkeit für 4 von 10 Treffern bei einer (Einzel-)Trefferwahrscheinlichkeit von 0,03 [also, das was du mit binomPdf(10, 0.03, 4) berechnest] ist ...

$\binom{10}{4}\cdot0,03^4\cdot\left(1-0,03\right)^{10-4}\ \ \text{ bzw. }\ \ \binom{10}{4}\cdot0,03^4\cdot0,97^6$

Dabei ist

$\binom{10}{4}=\frac{10!}{4!\cdot\left(10-4\right)!}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{1\cdot2\cdot3\cdot4}=210$

der Binomialkoeffizient „10 über 4“.

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Allgemein erhält man für k von n Treffern bei einer (Einzel-)Trefferwahrscheinlichkeit p entsprechend der Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeit ...

$\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot\left(1-p\right)^{n-k}$

Siehe beispielsweise auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung#Definition

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Im konkreten Fall erhält man also für die gesuchte Wahrscheinlichkeit ...

$\binom{10}{4}\cdot0,03^4\cdot\left(1-0,03\right)^{10-4}$ $=210\cdot0,03^4\cdot0,97^6$ $=0,0001416885380384229$ $\approx0,000142$

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In meinem Taschenrechner könnte ich beispielsweise, ohne auf die eingebaute Verteilungsfunktion für die Binomialverteilung zurückzugreifen,

10 nCr 4 * 0,03^4 * (1 - 0,03)^(10 - 4)

eingeben. Dabei wird mit „10 nCr 4“ der entsprechende Binomialkoeffizient „10 über 4“ berechnet.

Answer 2

[Luksior]

Das ist eine binomialverteilte Funktion, d.h. die Wahrscheinlichkeit beträgt Binom(10,0.03)(4); daher auch die Bezeichnung in deinem Taschenrechner. Die Idee ist, dass du genau 10 über 4 Möglichkeiten hast, vier Schrauben aus 10 Schrauben auszuwählen und für jede dieser Möglichkeiten hast du eine Chance von 0,03^4, mindestens vier Ausschussstücke zu bekommen, und eine Chance von (1-0,03)^6 = 0,97^6, mindestens sechs Ausschussstücke nicht zu bekommen, d.h. genau vier Ausschussstücke zu bekommen. Alles multipliziert ergibt das binom(10,4)*0,03^4*0,97^6, wobei binom(10,4) = 10!/(4!(10-4)!) = 10!(4!6!) gilt. Die Wahrscheinlichkeit ist also ziemlich niedrig, nämlich 0.014%.