Beweiss durch Vollständige Induktion?
3 Antworten
Das Prinzip ist immer gleich.
- Induktionsbehauptung, die steht schon da in der Aufgabenstellung
- Induktionsanfang. Suche die kleinste Zahl, für die die Behauptung gilt.
- Induktionsschritt. Beweise, dass, wenn die Behauptung für n gilt, dann auch für n+1. Das ist der schwierige Schritt, der anfangs oft Probleme macht.
Ich denke ein Beispiel ist immer noch am besten. Ich mache mal die 1 vor:
Induktionsbehauptung: Einfach abschreiben: 1 + 3 + 5 +... = (n+1)².
Induktionsanfang (n=1). Obige Formel gilt ja schon für n=1, da 1 + 3 = (1 + 1)²
Induktionsschritt (n -> n+1). Mach den einfach immer von n -> n+1. Alles was du also tun musst, ist in der Formel von der Behauptung links statt nur bis n, nach n+1 gehen. Aus 1 + 3 + 5 +...+ (2n + 1) wird also 1 + 3 + 5 +...+ (2n + 1) + (2(n + 1) + 1). Jetzt kommt der wichtige, wichtige Schritt, und zwar ersetzt du einfach den ganzen vorderen Teil (unterstrichen) mit (n+1)², das darfst du einfach machen, weil das deine Induktionsbehauptung ist. Dann hast du (n + 1)² + (2(n + 1) + 1). Das musst du nur noch umformen: (n + 1)² + (2(n + 1) + 1) = (n + 1)² + 2n + 3 = n² + 2n + 1 + 2n + 3 = n² + 4n + 4 = (n + 2)² = ((n + 1) + 1)². Warum bist du jetzt fertig? Weil du jetzt die genau gleiche Formel, wie auf der rechten Seite von der Behauptung hast, nur dass jetzt alle n mit n+1 ersetzt sind.
Manche Lehrer wollen dann auch noch eine andere Struktur mit Behauptung, Voraussetzung, Verankerung, was weiß ich. Das ist egal, wichtig ist, dass du den Induktionsschritt verstehst, der Rest sind Formalitäten.
Du musst einfach nur zeigen, dass das daraus, dass die Gleichung für n auch für n+1 gilt.
Ich hab dir mal ein Beispiel gerechnet:
Im Endeffekt weißt du kurz nach, dass die Behauptung für ein n gilt (hier 0)
Danach zeigst du, dass wenn sie für n gilt, auch für n+1 gilt.
Und damit gilt sie natürlich für alle n > Anfangswert (hier die 0)
Ja stimmt das hab ich nicht gelesen ;) aber mit 1 gehts ja auch
Ich hab jetzt versucht Aufgabe 3 zu machen und bei mir funktioniert das nicht