Mathematik Beweis: a/b < c/d --> a/b < (a+c)/(b+d) < c/d

Hey,

ich soll folgendes beweisen:

Falls b>0 und d>0, so gilt a/b < c/d --> a/b < (a+c)/(b+d) < c/d.

Leide finde ich überhaupt keinen Ansatz, kann mir da jemand helfen?

Gruß

3 Antworten

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kreisfoermig

Nutzer, der sehr aktiv auf gutefrage ist

im Thema Mathematik

20.10.2013, 20:53

Anderer Ansatz: man bestätigt die Behauptung als richtig, und nur nebenbei die Voraussetzung verwendet. (Der andere Beweis macht das andersrum: er geht von der Voraussetzung aus und kommt am Ende auf die Behauptung als Ergebnis. Der ist allerdings auch vollkommen gültig.)

Behauptung. Seien a,b,c,d in R. Angenommen, a/b > c/d und b, d > 0. Dann gilt a/b < (a+c)/(b+d) < c/d.

Beweis.

Vormerkung.

für alle x, x´, y, y´, z in R mit x, x´ > 0 gelten:
- (I) x+x´ > 0;
- (II) x·x´ > 0;
- (III) y < y´ <==> y + z < y´ + z; und
- (IV) y < y´ <==> y · x < y´ · x.

Daher b + d > 0 wegen (I), b·(b+d) > 0und d·(b+d) > 0 wegen (II).

Zu zeigen: a/b < (a+c)/(b+d) < c/d … (†).

(†) <==> a/b < (a+c)/(b+d) und (a+c)/(b+d) < c/d
- <==> a/b · [b·(b+d)] < (a+c)/(b+d) · [b·(b+d)] und (a+c)/(b+d) · [d·(b+d)] < c/d · [d·(b+d)] … wegen (IV)
- <==> a·(b+d) < (a+c)·b und (a+c)·d < c·(b+d)
- <==> ab+ad < ab+cb und ad+cd < cb+cd
- <==> ad < cb und ad < cb … wegen (III)
- <==> ad < cb
- <==> (a/b)·bd < (c/d)·bd
- <==> a/b < c/d … wegen (IV)

Also gilt (†) <==> a/b < c/d, was selbst wahr ist. Also gilt (†). W. z. z. w.

greenphone

19.10.2013, 12:10

Das ist nicht ganz einfach zu sehen wenn man darin keine Übung hat. Ich werde deshalb jetzt a/b < c/d => a/b < (a+c)/(b+d) zeigen. Den zweiten Teil bekommst du dann vllt selbst hin wenn du das als Bespiel nimmst. Also:

a/b < c/d

=> (ad/b) = c

=> a + ad/b < c + a

=> (ab + ad)/b < a + c

=>(a (b + d))/b < a + c jetzt teile ich durch (b+d), da b, d >0

=> a/b < (a + c)/(b + d)