Bestimmen der Gleichung einer Mittelnormalebene
Ich habe zwei Punkte A und B gegeben (z.B. (3/1/1) und (-5/3/7). Wie kann ich von der Strecke AB nun die Gleichung der Mittelnormalebene berechnen? Ich hoffe jmd kann mir das erklären... danke!
3 Antworten
also ich kenn den begriff mittelnormalebene nicht, aber ich vermute es ist die ebene die senkrecht durch die strecke AB geht und im Mittelpunkt von AB liegt! vermut ich da richtig?
also als erstes bildest du AB:
B-A= (-5/3/7) - (3/1/1) = (-8/2/6)
Nun ist der Richtungsvektor der geraden der normalenvektor der ebene
-8(x1)+2(x2)+6(x3)+c=0
nun braucht man noch den mittelpunkt von AB:
(A0+B0)/2= (-1/2/4)
nun setzt man den punkt in die gleichung ein und rechnet c aus
-8 * -1 + 2 * 2 + 6 * 4 +c=0
c=-36
-8(x1)+2(x2)+6(x3)-36=0
ja kalr, also wir nennen die Beiden Punkte mal G und F, die Ebene 2 haben wir gegenen( die senkrechte) die Ebene 1 wird gesucht
Diese Aufgabe ist leichter wenn man sie in Vekotrform macht, also
X=A+ k * AB + l * AC, wobei A der Aufpunkt ist, k und l Variablen und AB,AC richtungsvektoren der ebene sind
also der normalenvektor der Ebene 2, ister wieder der richtungsvektor der Ebene 1., somit hat man einen richtungsvektor den man entweder für AB bzw AC einsetzen kann.
Mit den anderen beiden punkten kannst du nun einen als aufpunkt und den anderen als richtungvektor verwenden
X=G+ k * FG + l * n(Normalenvektor Ebene 2)
Die kannst du dann in die Koordinatenform umstellen
danke erstmal :) also wie geht das dann mit der koordinatengleichung 4x + 3y -2 = 0 ? ich verstehe das mit dem X=A+ k * AB + l * AC nicht ganz weil in meinem mathebuch das alles etwas anders erklärt ist.. die punkte sind bei der aufgabe P(1/3/0) und Q(3/2/1).
E2: 4x + 3y +0z -2 = 0
P(1/3/0),Q(3/2/1)
Normalvektor der Ebene E2 kann man ja an der Koordinatenformablesen: n(4/3/0)
jetzt bilden wir die strecke PQ:
PQ= Q-P=(2/-1/1)
P nehmen wir als aufpunkt:
X=P+ k * PQ + l * n
X= (1/3/0)+ k * (2/-1/1) + l * (4/3/0)
nun kann man das in die koordinatenform umrechnen:
Kreuzprodukt: n x PQ: das ist der normalenvektor der ebene 1: = (3/4/-10)
also 3x + 4y -10z +c =0
mit dem aufpunkt P rechnest du das c aus
3 * 1 + 4 * 3 - 10 * 0 + c = 0
c= -15
also E1: 3x + 4y -10z -15=0
1.) Mittelpunkt von AB bestimmen.
2) Richtungvektor der Geraden durch A und B ist Normale von e
3) Punkt-Normalenform
also dann habe ich (-2/4/8) geteilt durch zwei also (-1/2/4) und den richtungsvektor (-8/2/6). ich steh grad voll auf dem schlauch. wie mache ich jetzt die koordinatengleichung???? :/
e: (x - p) *n = 0
wow danke ich hab's verstanden! =D
wenn du grad keine zeit hast ist auch egal aber kannst du mir noch erklären, wie man die koordinatengleichung einer ebene bestimmt, wenn man 2 Punkte, durch die sie geht, weiss und die koordinatengleichung einer ebene, zu der die gesuchte ebene normal steht??