Ausgleichsrechnung (Methode der kleinsten Quadrate)?
Hallo Zusammen,
bei folgender Aufgabe, bzw. meinem Rechnungsweg dazu habe ich eine Frage. Und zwar wollte ich gerne von euch wissen, weshalb die zweite Gleichung, also jene die nach b abgeleitet wird, nicht ebenfalls a = 1.1 ergibt.
Mir ist klar, dass b = 0 sein soll, weil die Gerade durch den Ursprung gelegt wird. Allerdings sollte dies doch keinen Einfluss auf diese zweite Gleichung haben?
Die Lösung ist wie in meinem Rechnungsweg zu sehen: a=1.1 / v1=1.4 und v=-2.8
Ich danke euch herzlich für eine Rückmeldung :)
1 Antwort
Der Fehler ist, dass du eben nicht so gerechnet hast, dass die Gerade durch den Ursprung gehst.
Du hast so gerechnet, als würdest du eine Gerade suchen, die zu den Punkten P_1, P_1 und dem Ursprung in Summe den kleinsten Abstand hat (im Sinne der Quadrate). Übrings hätte das LGS (3) dann so aussehen müssen:
20 a + 6 b = 22,
6 a + 3 b = 8.
Du hast also so angesetzt, dass du die Gerade
y = 3 x / 4 + 7 / 6
erhälst (siehe Grafik).
Damit die Gerade wirlich durch den Ursprung geht, musst du den Ansatz
y = a x
machen bzw. du kannst auch y = a x + b machen, aber dann muss du noch die Bedingung a • 0 + b = 0 aufschreiben. Damit erhälst du dann eben b = 0, also brauchst du auch nur nach a ableiten (würdest du nach b ableiten, erhieltest du 0 = 0, weil wegen b = 0 kein b mehr auftaucht), womit du schließlich die Gleichung 20 a = 22 erhälst.
So kommst du also auf y = 11 x / 10 (siehe Grafik).
Ürbrings:
Du hättest es auch schneller mit der Pseudoinversen A* der Matrix A = (4, 2) berechnen können. Es soll ja gelten
(4, 2) (a) = (3, 5).
Dieses LGS hat natürlich keine Lösung. Mit der pseudoinversen Matrix A* kann man jedoch im Sinne der kleinesten Quadrate eine optimale Näherungslösung berechnen, dafür berechnet man A* mit
A* = (A^T A)^(–1) A^T,
also
A* = ((4, 2)^T (4, 2))^(–1) (4, 2)^T
A* = (20)^(–1) ((4, 2))
A* = ((4/20, 2/20)) = ((1/5, 1/10)).
Damit ist die Näherungslösung
A* (5, 3) = ((1/5, 1/10)) (3, 5) = (11/10).
Allerdings war das natürlich keine Herleitung für die Formel von A*, was du aber im Internet bei Interesse ganz gut nachschauen kannst. Ich wollte nur zeigen, dass es noch andere Möglichkeiten gibt.
Mir stellt sich nur noch die Frage, wie a = 1.1 nun eine Ausgleichsrechnung sein kann, da meiner Meinung nach mit einer grösseren Steigung bestimmt kleinere Verbesserungen erreicht werden könnten (so rein optisch gesehen)?
Das glaube ich dir.
Du musst dur klar machen, was "Methode der kleinsten Quadrate" bedeutet.
Es geht nicht darum, dass der Abstand der Punkte zur Geraden in Summe der Quadrate minimal wird, sondern die Summe der Quadrate von den Differenzen der Funktionswerte und y-Koordinaten von den Punkten.
Würdest du eine größere Steigung a machen, wird die Differenz von Funktionswert a • 4 und y-Koordinate 3 als Quadrat größer, als dass das Quadrat der Differenz von Funktionswert a • 2 und y-Koordinate 5 kleiner wird.
Du darfst nicht den direkten Abstand von den Punkten zur Geraden betrachten, sondern nur die Abstände der Funktionswerte (also die Abstände entlang der y-Achse). Dort wird dir dann auffallen, dass die Differenz am ersten Punkt betraglich weniger abnimmt, als dass die Differenz am zweiten Punkt zunimmt, insgesamt die Summe der Beträge (und damit Quadrate) also steigt.
Wie kann man dass geometrisch erklären?
Zeichne zwei Kreise, die den Ursprung als Mittelpunkt haben, so, dass der eine (kleinere) durch P_1 und der andere (größere) durch P_2 geht.
Trage nun die Gerade y = 1,1 x ein, also eine Gerade, die ca. einen Winkel von 48° zur x-Achse hat.
Wenn du diesen Winkel nun variierst (nehmen wir z. B. 55°), dann sieht du, dass die beiden Kreisbogen der Kreise zwischen dem Winkel 48° und 55° unterschiedliche Längen haben.
Beim kleineren Kreis ist dieser Kreisbogen kleiner als beim größeren. Das bedeutet auch, dass die Differenzen zwischen Funktionswerten und y-Koordinaten eine ungleiche Veränderung aufweisen (sie sind der Tangens des Differenzwinkels mit einer Proportionalitätskonstanten ungleich Eins).
[Ich hoffe, dass es anschaulich halbwegs gut erklärt war...]
Daher kann es zwar sein, dass der betragliche Abstand senkrecht zur Geraden in Summe abnimmt, aber der betraglichr Abstand entlang der y-Achse zunimmt.
Sehr gut erklärt :) also ich konnte nun nachvollziehen, um was es bei "Summe der kleinsten Quadrate" geht und habe dies soeben mit verschiedenen Steigungen getestet. Mir ist also nun klar, weshalb a=1.1 ideal ist.
Zudem ist mir nun auch klar (glaube ich zumindest^^), weshalb die verschiedenen Abweichungen der Punkt zur Funktion zustande kommen. Dies aus dem Grund, weil sich diese je nach Abstand zum Ursprung (in diesem Fall) anders verhalten auf die Summe im Quadrat. Punkt 2 trägt mehr zu einer Veränderung der Summe im Quadrat bei, als es Punkt 1 tut.
Vielleicht ist der zweite Teil meiner Ausführung nicht korrekt, allerdings hast du mir schon mehr als genug mit deinen Erklärungen geholfen, so dass ich deine Zeit nicht weiter damit verschwenden möchte :D
Ich danke dir nochmals :)
Du scheinst alles verstanden zu haben! Das freut mich.
Dann bin ich ja beruhigt, dass ich helfen konnte ^^
Und nur falls es dich interessiert:
Die Steiung für den minimalen Abstand im geometrischen Sinne ist für
a = (7 + sqrt(533)) / 22 ≈ 1,37
gegeben, der maximale bei
a = (7 – sqrt(533)) / 22 ≈ –0,73.
Also bei der Geraden y ≈ 1,37 x ist die Summe der betraglichen Abstände der Punkte zur Gerade (also senkrecht zur Geraden) am geringsten.
Wow, danke viel Mal für die ausführliche und interessante Erklärung. Nun habe ich verstanden, was ich falsch gemacht habe :D. Mir stellt sich nur noch die Frage, wie a = 1.1 nun eine Ausgleichsrechnung sein kann, da meiner Meinung nach mit einer grösseren Steigung bestimmt kleinere Verbesserungen erreicht werden könnten (so rein optisch gesehen)?
Das mit der Matrix hatten wir leider in unserem Studium noch nicht, aber wird bestimmt noch kommen. Hört sich allerdings auch spannend an.
Ich bedanke mich nochmals und wünsche einen schönen Abend.