Algebra -10² = 100 oder -100?
Hey...
Ich hätte immer gesagt -10² wäre 100. Allerdings gibt es ja einen Unterschied zwischen (-10)² und -10² oder nicht? Ersteres ist ja definitiv 100. Bei zweiterem würde ich also mittlerweile -100 sagen?!
Die Potenz wird ja vor einer Strichrechnung ausgewertet, aber ist mit dem Strich auch das Vorzeichen gemeint?
Danke
6 Antworten
Deine Überlegung ist richtig.
(-10)^2 = -10*(-10) = 100
-10^2 = -(10*10) = -100
bzw. hier:
zunächst mal sieht mein Tassenrechner es anders... 😋
-10 bedeutet doch, dass die negative Zahl -10 gemeint ist... also zehn Schritte nach links auf dem Zahlenstrahl... oder?
Ja, quadriert wird hier aber die 10. da steht (-1) * 10^2, also -100
was machst du denn hier:also in der abelschen Gruppe aus den ganzen Zahlen und der normalen Addition.
Da kannst du doch nicht sagen, dass die „Minus 10“ aus der Multiplikation mit „Minus 1“ entsteht...
Warum ist 10² dann nicht 10? schließlich heißt 10 ja eigentlich: 1*10+0*1 (also ein Zehner und Null Einer)... und somit 1*10+0*1²=1*10+0*1=10
Sorry, aber schau dir nochmal die Grundrechenregeln aus der sechsten Klasse an. Ansonsten Google es oder so, aber ich habe keine Zeit über solche trivialen Sachen hier irgendwie zu diskutieren.
ey... was? ist das schon alles? so wird das auf jeden Fall nichts... ihr könnt doch nicht einfach eine Zahl auseinander nehmen... das ist doch lächerlich...
Okay, ich bearbeite meine Antwort mit Screenshots von Wolframalpha.
denen hab ich gerade ein feedback reingewürgt... bis zum Anschlag...
Ich hoffe nicht, das dürfte peinlich werden. Noch ein letzter Versuch, solltest du das Ganze wirklich ernst meinen: -10^2, da subtrahiert man 10^2, man subtrahiert also 100 —> -100, bei (-10)^2 hat man positive (-10)^2, also 100
neenee... so wird das nix... für mich ist „-10“ einfach „-10“... also „negative ten“ wie Mr. Spock sagen würde... und eben nicht (-1)*(+10)... manno... geht doch darauf mal ein...
Ja okay dann gehe ich darauf ein: Das ist dann eben falsch, denn -10 ist nunmal (-1)*(+10). Und bei -10^2 wird nur die 10 quadriert nicht die -1
f! manno! was machst du, wenn es gar keine Multiplikation gibt? also wenn du nur die Plus-Operation und keine Punkt-Operation hast... hier z. B.:da gibt es doch trotzdem negative Zahlen... oder? sonst wäre es ja keine abelsche Gruppe...
Wenn es keine Punkt-Operationen gibt, gibt es auch kein hoch.
und dann gehört das Vorzeichen plötzlich fest dazu? und ist nicht mit nem unsichtbaren Punkt und ner unsichtbaren 1 und unsichtbaren Klammern dran geklöppelt?
Krass. Ich hab das echt über so viele Jahre falsch gerechnet und erst heute ist mir das zufällig aufgefallen :/
Ein Minus-Zeichen („-“) taucht in der Mathematik in verschiedenen Rollen auf:
- als Vorzeichen (als fester Bestandteil einer Zahl: -2)...
- als Operator, der das inverse Element bezüglich der Plus-Operation liefern soll (-a)...
- als Operator, der den linken Ausdruck und das inverse Element bezüglich der Plus-Operation des rechten Ausdrucks mit der Plus-Operation verknüpfen soll (a-b = a+ -b)...
der Ausdruck „-10²“ ist diesbezüglich nicht ganz eindeutig, weil ersichtlich Verwendung (1) oder (2) gemeint sein könnte... Für Verwendung (2) bräuchte man überhaupt erst einmal eine Plus-Operation, was z. B. in der folgenden abelschen Gruppe nicht der Fall wäre:Weswegen Verwendung (1) eigentlich auch in Frage kommt...
allein im Fallkann nur Verwendung (2) in Frage kommen, weil Variablen anders als reelle Zahlen kein Vorzeichen kennen... also:Auch die Darstellung, dass „-10“ eigentlich „(-1)·10“ bedeutet, hilft nicht, zumal dann ja die Frage aufkommt, was denn dann „-1“ eigentlich bedeutet... Außerdem bedeutet „123“ auch nicht „100·1+10·2+1·3“, denn: Wenn doch, dann: „123²=129“... 😋
Letzteres stimmt, es ist -100.
Die Potenz bindet stärker als das Vorzeichen.
offensichtlich... die binden einfach alles... die schnüren sogar das Vorzeichen einer Ganzzahl ab...
öhm... es hört sich komisch an... als käme das Potenzieren vor dem Vorzeichen... aber das Vorzeichen gehört zu der Zahl die potenziert wird... -10² bedeutet also (-10)²
aber 5-2² ist 1... weil das Minus da kein Vorzeichen ist...
als käme das Potenzieren vor dem Vorzeichen
Ist doch aber auch so 😅 Genau darum geht es ja. 5-2² ist deshalb 1, weil die Potenz vor der Strichrechnung durchgeführt wird. Und -10² ist -100, da wir -(10 * 10) rechnen was -(100) ist, oder eben -100.
Darüber bin ich gestolpert. Ich hab in der Frage ja jemand einen Stern gegeben und er/sie hat es bestätigt :)
ey! geil! meinst das ernst?
du siehst keinen Unterschied zwischen einem Vorzeichen und einer Subtraktion?
-100
110 - 10
110 + -10
90 - -10
Doch, tue ich. Aber es ändert nichts an dem Geschriebenen. Die Potenz wird zu erst aufgelöst, da sie ja nur eine andere Schreibweise für dieselbe Zahl ist.
10² = 100
-10² = -( +100) = -100.
Ich löse die Potenz also auf und setze dann das Vorzeichen davor. Das war ja mein ursprüngliches Problem.
Totaler Quatsch. -10² =/= (-10)². Die Potenz bindet definitiv stärker. Bei (-10)² zählt deswegen das Vorzeichen zuerst, weil es in der Klammer steht.
Es bindet IMMER am stärksten in absteigender Reihenfolge:
- Potenz
- Multiplikation
- Addition
Und ein Vorzeichen ist wie eine Multiplikation mit (-1):
-10² = (-1) * 10² = (-1) * 100 = -100
f nein! niemals... das Vorzeichen gehört zu der Zahl... so wie „123“ ja auch nicht gleichbedeutend mit „1*100+2*10+3*1“ ist... ihr seid total lustig...
Du behauptest, dass Dinge nicht gelten, die ich niemals so genannt habe. Du hast offensichtlich keine Ahnung, aber reißt hier dauernd die Klappe auf!
ey! warum bastelst du die Zahl -10 auseinander? das gibt doch keinen Sinn...
Aber ich bastle doch die -10² auseinander, nicht die -10 :)
Ich kann da nur @Ranger1111 zitieren:
“Es bindet IMMER am stärksten in absteigender Reihenfolge:
- Potenz
- Multiplikation
- Addition
Aber das habe ich doch schon gemacht -10² = -(10 * 10) = -(100) = -100
wieso trennst du denn das Vorzeichen von der Zahl ab? das gehört doch eindeutig zu der Zahl dazu... genau wie die „1“ und die „0“...
Ich trenne sie doch gar nicht ab. Ich löse nur die Potenz auf, die stärker bindet als das Vorzeichen :)
warum bindet denn das Vorzeichen weniger, aber das Mal zwischen 0*1 plötzlich mehr? da stimmt doch was nicht... erklär es mir doch einfach... das Vorzeichen trennst du ab, aber das Malzeichen nicht...
Es ist ein Unterschied, ob man (-x)² oder -x² ausrechnet. Das weißt du doch, oder? Bei -x² gehört das Minus „nicht zum x“ (quasi). Deshalb muss man zuerst die Potenzen ausrechnen.
100-10²=0
100+(-10)²=200
ja klar... aber bei mir ist das x=-10... was sagst du nun? wenn ich „-10“ sehe, dann ist das für mich die Zahl „minus zehn“... erklärt mir doch mal, wie ihr das anders sehen könnt?
und in „100-10²=0“ da ist das „minus“ na klar kein Vorzeichen, sondern die Subtraktion... und wenn du das Inverse Element bezüglich der Plus Operation von „10²“ willst, dann musst du „-(10²)“ schreiben...
das ist eben euer Denkfehler... bei „-3“ ist das Minus das Vorzeichen... und bei „-x“ ist das Minus der unäre Inversions-Operator... manno... und bei „a-b“ ist das Minus der Subtraktions-Operator...
Jetzt hör mal…
Du kritisierst jeden hier rum und du bist der einzige der hier so denkt. Jetzt überleg du doch mal. Könntest du nicht falsch liegen?
ich bin wohl auch der einzige hier, der Lineare Algebra gehört hat...
Ich habe auch lineare Algebra gehört und stimme dem Konsensus zu, dass die Konvention ist, dass Potenz stärker als Vorzeichen bindet. In der linearen Algebra gibt es übrigens keine Potenzen außer der ersten, da alle Abbildungen, wie der Name schon sagt, linear sind. ;)
Aber wenn wir mal die (allgemeine) Algebra betrachten, dann ist dass additiv inverse Element eines Elements a gegeben durch -a, wenn man dieses additiv inverse Element potenzieren will, dann macht man das so: (-a)^n. Fehlen die Klammern, steht also -a^n da, so ist das das additiv Inverse des Elements a^n, wird also gelesen als -(a^n).
der Inversions-Operator ist aber was anderes als das Vorzeichen... das Vorzeichen von „-123“ klebt genauso fest wie die „2“... bei euch wäre „-123²“ nämlich -129... und irgendwie schnallt ihr es nicht... oder je nach Notation ist dann „-123²“ auch noch „-123“ (wegen „1·3=3·1¹“... obwohl man na klar „·1“ auch weglassen könnte... dann ist es wieder „-129“ plus 5 macht „-1214“)...
Die Diskussion führt zu nichts, weil es eine Konvention ist, die so oder so hätte sein können, sie ist aber nun mal so, wie die Mehrheit hier beschreibt, und nicht wie du es dir vorstellst.
Vielleicht überzeugt dich ja, dass WolframAlpha auch so rechnet: https://www.wolframalpha.com/input?i=-2%5E2
edit: Ah ja, ich sehe, in der Antwort mit dem Sternchen ist sogar ein Screenshot verlinkt, also überzeugt dich das wohl doch nicht. Ich fürchte, dann weiß ich auch nicht, was dich überzeugen kann.
och nee... WA überzeugt auch nicht...
diese „Konvention“: Wo kommt die denn her? Ja wohl nicht von WA?
Kann es sein, dass das jeder Prof. halten kann, wie er will? Ich finde nämlich schon auf meinem kleinen Computer verschiedene Interpretationen von „-10^2“... einleuchtend finde ich nur, dass man das Minus als Vorzeichen und nicht als Inversions-Operator sieht (bei Letzerem hättet ihr wohl Recht, sonst aber ich... aber ihr sagt ja sogar noch, dass ihr das Minus als Vorzeichen deutet... eine Potenz hat na klar kein Vorzeichen... ganz anders als eine Ganzzahl... das Ergebnis des Potenzierens einer reellen Zahl hat dann wieder ein Vorzeichen...)...
Kann es sein, dass das jeder Prof. halten kann, wie er will?
Nein, denn es wird schon in der 5. oder 6. Klasse auf eine bestimmte Art unterrichtet und das ist dann eben die, auf die man sich irgendwann per Konvention geeinigt hat: Potenz bindet stärker als Punktrechnung, und die wiederum stärker als Strichrechnung (ein Minus als Vorzeichen zählt dabei als Punktrechnung, da es eine Kurzschreibweise für eine Multiplikation mit -1 ist).
oh nein... wenn ihr das über die Multiplikation erklären wollt, dann geht es doch total schief, weil man doch Vorzeichen haben kann, ohne was von Multiplikation zu wissen... manno... unser LA-Prof. hat mal Witze gemacht, dass man bereits in der Grundschule mit Gruppen und Ringen und so anfangen sollte, weil man von der Schulmathematik eine völlig falsche Sichtweise bekommt...
öhm nö... nur mein Bauchgefühl und bc...
für mich ist „-10“ irgendwie einfach die Darstellung der Zahl „minus zehn“, die es für euch scheinbar gar nicht gibt (für euch gibt es dann aber die Zahl „minus eins“... oder ist das dann eine Rekursion, die ihr nicht bemerkt...)... 😋
in der Schule lernt man wohl oft Sachen, die nicht so ganz stimmen können... z. B. enthalten Mengen nicht „irgendetwas“, sondern „irgendetwas außer Mengen“... wegen diesem Russellschen Paradoxon... IIRC
Das Bauchgefühl ist ein schlechter Berater, wenn es um Konventionen geht. Es ist ja eine Festlegung, wie -a^n zu interpretieren ist, die (-a)^n oder auch -(a^n) hätte sein können, beides wäre denkbar. Man hat sich nun mal für die Variante entschlossen, die deinem Bachgefühl widerspricht, die andere Variante wäre aber genauso möglich und konsistent mit dem Rest der Mathematik gewesen.
Was bc angeht, hast du wohl einen Bug entdeckt, möchtest du ihn melden? ;)
ich sehe in „-10²“ kein einziges „a“... da ihr alle immer wieder so komisch argumentiert, nehme ich mal an, dass ich der einzige Vernünftige hier bin...
bisher haben wir folgende Ausflüchte (allesamt ohne Beleg):
- Vorzeichen bindet einfach schwächer, obwohl es aber wie die Ziffern zur Zahl gehört...
- es ist gar kein Vorzeichen, sondern ein schwächer bindender unärer Inversions-Operator...
- „-10“ ist eine Abkürzung für „(-1)·10“, wobei dann nicht ganz klar wird, wofür „-1“ dann die Abkürzung ist (vielleicht für „i²“?)...
für hilfreich beantwortet halte ich die Frage also nicht...
man sollte wohl davon absehen „-10²“ zu schreiben... stattdessen eben mit Klammern... „-(10²)“ oder „(-10)²“... soviel Zeit muss dann eben sein...
Ganz einfach:
- Wenn das Vorzeichen zur Zahl gehört, muss eine Klammer drum
- Wenn es ein Inversionsoperator ist, muss klar sein, bzgl. welcher Verknüpfung es invertiert
- (-1)*10 macht im Gegensatz zu -10 deutlicher, dass man dies als Multiplikation auffassen kann, die schwächer bindet als eine Potenz. Und -1 ist dann einfach die Abkürzung für (-1)*1
bisher haben wir folgende Ausflüchte (allesamt ohne Beleg):
Das sind keine Ausflüchte sondern Versuche, die geltende Konvention plausibel zu machen.
man sollte wohl davon absehen „-10²“ zu schreiben... stattdessen eben mit Klammern... „-(10²)“ oder „(-10)²“... soviel Zeit muss dann eben sein...
Das wäre natürlich optimal, aber man ist nun mal schreibfaul...
es ist eben nicht so einfach... ihr liefert nur einen Wust an Erklärungen, die alle ziemlich unsinnig sind... an der Vielzahl der Ansätze müsstet ihr doch erkennen können, dass da etwas nicht stimmt...
Ich weiß nicht, was für dich eine überzeugende Quelle wäre. Hier zum Beispiel ein Lehrbuch für Wirtschaftsinformatiker, siehe Beispiel iii): https://books.google.de/books?id=Ug0gBAAAQBAJ&pg=PA65&lpg=PA65&dq=konvention+minuszeichen+potenz&source=bl&ots=xT_dm4-PVE&sig=ACfU3U3jSNuAq9TowoX84uLw8tbmXirekA&hl=de&sa=X&ved=2ahUKEwiv4K6n57n5AhUpiP0HHcGOBaIQ6AF6BAgeEAM#v=onepage&q=konvention%20minuszeichen%20potenz&f=false
Noch expliziter in Konvention K7 auf Seite 34 desselben Buchs.
da steht dann:
aber das ist ja etwas ganz anderes, als -10²... die versuchen zwar, im oberen Beispiel zu K7 so zu tun, als könne man einfach „a“ durch „10“ ersetzen, aber dadurch mutiert das Minus ja vom Inv-Operator zum Vorzeichen...
du bräuchtest also eine Konvention, dass eine negative Zahl ihr Vorzeichen verliert, sobald hinter ihr ein Exponent auftaucht...
ich finde es total lächerlich, dass ihr das abzustreiten versucht... ist ja wie bei Kindern... ich tue euch ja nix, wenn ihr zugebt, dass es Quatsch ist...
ich tue euch ja nix, wenn ihr zugebt, dass es Quatsch ist...
Das ist toll, wir dir auch nicht. ;)
aber das ist ja etwas ganz anderes, als -10²... die versuchen zwar, im oberen Beispiel zu K7 so zu tun, als könne man einfach „a“ durch „10“ ersetzen, aber dadurch mutiert das Minus ja vom Inv-Operator zum Vorzeichen...
So schreibt man Rechenregeln eben auf, man ersetzt Zahlen mit Platzhaltern, ich weiß nicht, was dich daran stört...
Hab den Bug in bc übrigens gemeldet
wo kann man die Meldung kommentieren? ich find nur die Mailing List info-gnu@gnu.org
Platzhaltern
nee du... hab auch „Theoretische Informagie“ gehört... und da schreibt man das, was ihr meint, dann so oder so ähnlich (--> erzeugt ein EXPR, das ich in Prefix-Notation schreibe):
(+)^{0,1}(VARname | signlessREAL | EXPR) --> \1
(-) (VARname | signlessREAL | EXPR) --> <NEG> \1
während ich schreiben würde:
(signedREAL) --> \1
(-) (EXPR) --> <NEG> \1
bei „a-b“ sind wir uns ja alle ziemlich einig:
(EXPR) (-) (EXPR) --> <ADD> \1 <NEG> \3
wo kann man die Meldung kommentieren? ich find nur die Mailing List info-gnu@gnu.org
Hab eine Mail an bug-bc@gnu.org geschickt, wie in der man-Page empfohlen.
nee du... hab auch „Theoretische Informagie“ gehört... und da schreibt man das, was ihr meint, dann so oder so ähnlich (--> erzeugt ein EXPR, das ich in Prefix-Notation schreibe):
Sorry, die Schreibweise ist mir etwas befremdlich, bin Physiker und kein Informatiker. :)
Physiker
alles klar... 3 ist prim, 5 ist prim, auch 7 ist prim... och lass mal n paar größere Zahlen probieren: 101 ist prim... dann sind wohl alle... 🤢 weiter konnte ich nich... 😋
und mir kommt es befremdlich vor, wenn einer meint, dass das Potenzieren an einer Zahl herumfummelt, indem es deren Vorzeichen abschneidet...
Siehe auch https://en.wikipedia.org/wiki/Bc_(programming_language)#Conflicting_with_C
In C ist das Verhalten korrekt, in bc hingegen aus historischen Gründen fehlerhaft.
öhm? in C (der Programmiersprache?) gibt es doch gar keinen Potenz-Operator... da bedeutet „-2^2“ wohl das da:
0xFE <XOR> 0x02
= 0b1111 1110 <XOR>
0b0000 0010
= 0b1111 1100
= -4
wer schreibt denn sowas... das kann man doch gar nicht vergleichen... stöhn... und das am frühen Morgen... 😋
und nein: Physiker find' ich eigentlich lustig, obschon ich mal in meiner Kindheit auf einen bedauernswerten Fall getroffen bin, der nach 2-3 Scheidungen wohl schon Mittags voll wie n Amtmann war... aber als Lehrer war er total Spitze... und als Segelboot Kapitän... wenn man dem Staat gläuben will... 🤢 gutes Personal ist eben schwer zu finden... aber an der Uni waren die dann alle ganz anders, wenn man nur diesen Saufkopf und seine Schlampen aus dem Kopf kriegte...
und übrigens:
-2 ^ 2
!= - (2^2)
= - 0
= 0
ätsch!
Guter Punkt, die Sache mit dem Vergleich mit C ist tatsächlich seltsam, ich habe mal auf der Talk-Seite gefragt, wie das gemeint sein soll. Nichts desto trotz ist, auch laut der Aussage des Entwicklers von bc, das implementierte Verhalten mathematisch falsch und ist nur aus Kompatibilitätsgründen noch so, wie es ist.
In C kann der Fall gar nicht eintreten, dass eine Potenz mehrdeutig ist, da pow(-2,2) selbstverständlich implizit Klammern um das erste Argument -2 annimmt.
jetzt habt ihr also schon den dicken fetten GNU ähm ANSI C Standard gegen euch...
Die explizite Aussage des bc-Entwicklers, dass bc mathematisch falsch rechnet, ignorierst du also einfach?
Die Antwort lautet -100.
Wir haben -10² = -1 * 10² = -1 * 100 = -100.
Ist das Minus mit der Hundert nicht in einer Klammer unter den Exponenten, so bezieht sich der Exponent nur auch die Hundert und nicht auf das Minus/die -1.
öhm? in welchem Studium lernt man denn das? die Gruppe (Z,+) z. B. kennt doch gar keine Punkt-Operation... Aber trotzdem gibt es +1 und -1... oder? Ich mein: Das Minus gehört genauso zur -10 wie die 1... du sagst ja auch nicht, dass 123² eigentlich 1*100+2*10+3² bedeutet... 😋
öhm? im Ernst? das stimmt doch gar nicht...
das Vorzeichen gehört doch zu der Zahl...