Ableitungsfunktion (Punkte) berechnen?

Hey,

ich habe in Mathe diese Aufgabe zu lösen, jedoch weiß ich nicht, wie ich verfahren soll und mein Buch bringt mich dahingehend auch nicht weiter.

Kann es mir jemand erklären?

Liebe Grüße,

Martin

Answer 1

[PhyTA6392]

a) in den Nullstellen der Funktion wird der Funktionswert gleich Null: $f\left(x\right)\ =\ 0\ =\ 0,8\cdot x^2-0,2\cdot x^3$ Da ist die erste Nullstelle schon mal ziemlich offensichtlich: $x_{01}\ =\ 0$ Mit dieser Nullstelle machst du Polynomdivision $\frac{f\left(x\right)}{x-x_{01}}$

bzw $\left(0,8\cdot x^2-0,2\cdot x^3\right):\left(x-0\right)$ Da siehst du dann, dass die nächste Nullstelle genauso offensichtlich Null ist und machst noch eine Polynomdivision. Die verbleibende lineare Gleichung stellst du nach x um und bekommst die dritte Nullstelle.

Die Steigung eines Graphen in einem beliebigen Punkt entspricht dem Funktionswert der ersten Ableitung in diesem Punkt: $m\left(x_0\right)\ =\ f'\left(x_0\right)$ Das heißt, du bildest die erste Ableitung der Funktion und setzt die x-Werte deiner zuvor berechneten Nullstellen ein. Für den Winkel gilt dann: $m\ =\ \tan\left(\alpha\right)$

b) Für die Steigung musst du nur wieder die x-Werte der gegebenen Koordinaten in die erste Ableitung einsetzen. Die mit "?" ausgelassenen Funktionswerte f(x) sind an dieser Stelle total irrelevant, andererseits sind sie auch fix eingesetzt und ausgerechnet.

c) Genau das gleiche wie in Teilaufgabe b): Du bildest die erste Ableitung f'(x), von der du weißt, dass sie der Steigung der Funktion f(x) ist, setzt dein x0 ein und schreibst wzbw drunter

Answer 2

[evtldocha]

a) Nullstellen $f\left(x\right)=\frac{8}{10}x^2\cdot\left(1-\frac{10}{8}\cdot\frac{2}{10}x\right)\ =0\ \Leftrightarrow x_1=0\ \ \vee\ x_2=\frac{8}{2}=4$

Steigung in den Nullstellen: $f'\left(x\right)=\frac{16}{10}x-\frac{6}{10}x^2;\ f'\left(0\right)=0;\ f'\left(4\right)\ =\ \frac{1}{10}\cdot\left(64-96\right)=-\frac{32}{10}$

Winkel: $\tan\left(α\right)\ =-\frac{32}{10}\ \rightarrow\ α\ =\ \arctan\left(-\frac{32}{10}\right)\ \approx-72,6°$

Der Schnittwinkel beträgt also ca. 72,6°

b) Berechne f'(-1) und f(2) - siehe Ableitung oben

c) Steigung in einem beliebigen Punkt (keine Ahnung was die Aufgabe soll) $m\left(x_0\right)=f'\left(x_0\right)=\frac{16}{10}x_0-\frac{6}{10}x_0^2\ =1,6x_0+0,6x_0^2$