((2x+1)^2-1)/x wie bekomme ich die Stammfunktion?
Ich hab das echt lange versucht, aber ich komm einfach nicht auf die Lösung!
2 Antworten
Forme zuerst um, damit der Bruch verschwindet.
((2x+1)² - 1) / x
= ((2x+1)² - 1) * x⁻¹
Diese Umformung geht mithilfe der Potenzgesetze:
https://www.formelsammlung-mathe.de/potenzen.html
Ebenso im Bild markiert.
Auch solltest du die binomische Formel in den Klammern lösen.
(2x+1)²
= (2x)² + 2*2x*1 + 1²
= 4x² + 4x + 1
Dann hätten wir also:
((2x+1)² - 1) / x
= (4x² + 4x + 1 - 1) * x⁻¹
= (4x² + 4x) * x⁻¹
Jetzt müssen wir die Klammer noch ausmultiplizieren, indem wir sowohl 4x² als auch 4x mit x⁻¹ multiplizieren. Dabei wenden wir dann wieder die Potenzgesetze an. Hier kommt folgendes zum Einsatz:
Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert.
Denk dran:
x = x¹
Das heißt: Wo kein Exponent steht, ist der Exponent eine 1.
Da wir die Exponenten addieren, die eine Potenz aber im Exponent -1 hat, rechnen wir etwas + (-Zahl). Plus und minus wird wieder minus. Wird müssen also doch subtrahieren. Deswegen verschwindet bei 4x das x komplett. Hier rechnen wir 1 + (-1), was 1 - 1 und somit 0 ergibt. x⁰ = 1. 4*1 ist immer noch 4.
Nun wenden wir alles an:
(4x² + 4x) * x⁻¹
= 4x² * x⁻¹ + 4x * x⁻¹
= 4x + 4
Das heißt also:
► f(x) = ((2x+1)² - 1) / x
► f(x) = 4x + 4
Das ist ein und die gleiche Funktion!
Davon musst du nun die Stammfunktion bilden, was ziemlich einfach sein sollte.
f(x) = 4x + 4
F(x) = (4/(1+1))x² + 4x
F(x) = (4/2)x² + 4x
►► F(x) = 2x² + 4x
Das war es ! :)
Viel umformen, einfaches integrieren.
Liebe Grüße
TechnikSpezi
Hi GiddooDass,
Ich empfehle Dir, die Funktion erstmal etwas einfacher zu schreiben.
In etwa so:
((2x+1)²-1)/x = (4x²+4x+1-1)/x = (4x²+4x)/x = 4x+4
Und ich bin mir ziemlich sicher, dass Du f(x) = 4x+4 nun selbst integrieren kannst :)
Versuche am Besten immer zuerst, die Funktion in eine einfachere Darstellung zu bringen :-)
Ich hoffe dies hilft.
InOMatrixGF
Dankeschön!!!