1-100 natürliche zahlen rätsel?
Hallo leute bitte hilft mir.
und so lautet die frage: An der Tafel stehen die natürlichen zahlen 1 bis 100. Nacheinander wird folgender schritt durchgeführt:
Zwei zahlen an der Tafel werden ausgewählt und durch die letzte ziffer ihrer summe und die letzte ziffer ihres produkts ersetzt.
Lässt sich durch geschickte wahl der jeweils zu ersetzenden zahlen erreichen, dass irgendwann nur noch gerade zahlen and der stehen
wenn ja bitte begründet es und wenn nicht begründet es warum das unmöglich ist.
Bitte hilft. Danke im voraus
3 Antworten
Zu Beginn stehen 50 gerade Zahlen und 50 ungerade Zahlen an der Tafel.
Man kann folgende Fälle für eine Paarwahl unterscheiden:
1. Fall: Man wählt zwei gerade Zahlen.
Dann ist die Summe eine gerade Zahl, also auch die letzte Ziffer der Summe eine gerade Zahl.
Dann ist das Produkt eine gerade Zahl, also auch die letzte Ziffer des Produkts eine gerade Zahl.
Man ersetzt in diesem Fall zwei gerade Zahlen durch zwei gerade Zahlen. Die Anzahlen an geraden/ungeraden Zahlen ändern sich nicht.
2. Fall: Man wählt zwei ungerade Zahlen.
Dann ist die Summe eine gerade Zahl, also auch die letzte Ziffer der Summe eine gerade Zahl.
Dann ist das Produkt eine ungerade Zahl, also auch die letzte Ziffer des Produkts eine ungerade Zahl.
Man ersetzt in diesem Fall zwei ungerade Zahlen durch eine gerade Zahl und eine ungerade Zahl. Die Anzahl an geraden Zahlen wächst um 1. Die Anzahl an ungeraden Zahlen wird um 1 verringert.
3. Fall: Man wählt eine gerade Zahl und eine ungerade Zahl.
Dann ist die Summe eine ungerade Zahl, also auch die letzte Ziffer der Summe eine ungerade Zahl.
Dann ist das Produkt eine gerade Zahl, also auch die letzte Ziffer des Produkts eine gerade Zahl.
Man ersetzt in diesem Fall also eine gerade Zahl und eine ungerade Zahl durch eine gerade Zahl und eine ungerade Zahl. Die Anzahlen an geraden/ungeraden Zahlen ändern sich nicht.
Ende der Fallunterscheidung.
Der einzige Fall, indem sich die Anzahlen an geraden/ungeraden Zahlen verändern, ist der 2. Fall. Bei diesem 2. Fall sinkt die Anzahl der ungeraden Zahlen jeweils um 1. Wenn man also nach und nach Paare mit zwei ungeraden Zahlen wählt, verändert sich die Anzahl der ungeraden Zahlen folgendermaßen: 50, 49, 48, 47, ..., 5, 4, 3, 2, 1
Nun hat man schließlich aber nur noch eine ungerade Zahl zur Verfügung, so dass man nicht nochmal zwei ungerade Zahlen wählen kann. Demnach bleibt immer mindestens eine ungerade Zahl an der Tafel stehen.
Ergebnis:
Nein, es ist nicht möglich.
Wenn ich nichts übersehen habe: nein, es ist nicht möglich. es gibt 3 Möglichkeiten Zahlen auszuwählen:
2 gerade: gg
1 gerade und 1 ungerade: gu (bzw "umgekehrt", aber das ist hier das selbe)
2 ungerade: uu
Wählt man gg, so folg daraus wieder gg (sowohl die Summe as auch das Produkt zweier gerader Zahlen sind wieder gerade Zahlen, und somit auch ihre Einerstelle)
Wählt man gu, so folgt daraus wieder gu (Produkt gerade, Summe ungerade)
Wählt man uu, so folgt daraus gu (Produkt ungerade, Summe gerade)
Also:
bei gg oder gu ändert man nichts an der Konstellation.
mit uu reduziert man zwar die ungeraden Zahlen um eine, die letzte ungerade Zahl bekommt man aber nicht weg!
Denk halt einmal alle 3 Kombinationen durch, und schau, was jeweils rauskommt.
