,, Zahlenarten "
Hallo,
kann mir jemand die Unterschiede erklären, von den reellen, rationalen, natürlichen und ganzen Zahlen? Ich steig da irgendwie nicht durch.
6 Antworten
Jede natürliche Zahl ist eine ganze Zahl. Jede ganze Zahl ist eine rationale Zahl. Jede rationale Zahl ist eine reelle Zahl.
Diese "Zahlenarten" sind also jeweils Erweiterungen von einander, sie sich gegenseitig umschließen. Die Umkehrung gilt aber nicht. Die Kreiszahl pi ist zum Beispiel eine reelle Zahl, aber keine rationale Zahl, weil sie nicht als periodische Dezimalzahl geschrieben werden kann und ganz, bzw. natürlich ist sie schon gar nicht.
Du kannst aber ohne zu zögern sagen, dass 1 eine reelle, rationale, ganze oder natürliche Zahl ist. Weil in diesem Bild was wir uns vorstellen die natürlichen Zahlen in jeder anderen "Zahlenart" bereits enthalten ist.
Wozu braucht man verschiedene Zahlenarten? Das hat mit der Lösbarkeit von Gleichungen zu tun. Zu erst kannte man die natürlichen Zahlen, also 0, 1, 2, 3, 4 usw. (dabei ist die Null nicht für jeden Autor eine natürliche Zahl, das ist von Literatur zu Literatur unterschiedlich, spielt aber keine besondere Rolle). Irgendwann hat man dann gemerkt, dass man mit natürlichen Zahlen nicht alles beschreiben oder berechnen kann. Zum Beispiel Gleichungen wie
4+x=2
Sowas ist mit natürlichen Zahlen nicht lösbar. Ich weiß nicht in welcher Klassenstufe du bist und ob du Gleichungen kennst. Das was da steht heißt im Grunde "finde eine Zahl die wenn ich sie mit 4 addiere 2 ergibt" eine solche Zahl wirst du sicherlich leicht angeben können. Nämlich die -2. Und die -2 ist nicht in den natürlichen Zahlen enthalten. Es muss also mehr geben. So kommt man auf die ganzen Zahlen, also
..., -3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, ....
Hier hat man dann aber auch schnell gemerkt, dass sich mit ganzen Zahlen auch nicht alles lösen lässt. Zum Beispiel etwas wie
3x=1
Finde eine Zahl die mit 3 multipliziert 1 ergibt. Das wäre 1/3, dies ist aber keine ganze Zahl. Wir müssen also noch mehr Zahlen haben, eben die Brüche, wie
1/2, (-4)/5, 1/1, 6/7 und was es da nicht alles gibt.
Interessant ist es vielleicht, dass etwas wie 4/(-5) erst einmal keine rationale Zahl ist. Man möchte das der Nenner positiv ist, also vor allem ungleich Null. Wie du hoffentlich weißt ist die Division durch Null nicht definiert. Also etwas wie 1/0 macht keinen Sinn. Aber man kann das Minus-Zeichen aus dem Nenner mit Rechengesetzen einfach in den Zähler schreiben, dann haben wir wieder eine rationale Zahl.
Und nun hat man schlussendlich gemerkt, dass sich auch mit den rationalen Zahlen nicht alles lösen lässt. Etwa eine Gleichung wie
x^2=2
deren beide Lösungen irrationale Zahlen sind nämlich -sqrt(2), also -Wurzel 2 (sqrt=Wurzel) und +sqrt(2). Mit den rationalen Zahlen (als Menge Q geschrieben) war man also immer noch nicht fertig und wir sind bei den reellen Zahlen R angekommen. Aber ist man damit fertig? Nein, denn auch in R lassen sich nicht alle Gleichungen lösen. Zum Beispiel
x^2=-1
Denn -1 ist ja negativ. Das Quadrat einer Zahl ist aber stehts positiv. Denn wenn ich eine Zahl quadriere heißt das ja, dass ich sie mit sich selbst multipliziere. Nun kann eine Zahl negativ oder positiv sein. Aber Minus mal Minus ist Plus und Plus mal Plus ist sowieso Plus.
Dazu benötigt man dann die sogenannten komplexen Zahlen, aber die spielen an der Stelle erstmal keine Rolle. Nur ein kleiner Ausblick.
Ansonsten ist vielleicht noch eines interessant zu wissen, nämlich eine höchst unintuitive Feststellung die man gemacht hat und wir dem deutschen Mathematiker Georg Cantor verdanken, nämlich, dass es verschiedene Arten von "unendlich" gibt, aber da werde ich jetzt nicht näher drauf eingehen, da für die fünfte(?) Klasse zu schwer.
Eine neue Zahlenart ist immer erfunden worden, wenn die Rechenverfahren aus der Menge der gegebenen Zahlen herausführten.
Zu Beginn: ℕ
natürliche Zahlen
wenn du eine größere von einer kleineren subtrahierst, erhält du eine negative Zahl, dafür braucht man dann die größere Menge
ℤ ganze Zahlen.
Das geht gut bis zum Dividieren, dann werden Brüche gebraucht. Die sind keine ganzen Zahlen mehr, und man führt ein
ℚ die rationalen Zahlen.
Wenn man diese potenziert, ist es ja gut. Aber dazwischen sind immer wieder unendlich lange Dezimalzahlen, die z.B. schon bei √2 entstehen. Dafür braucht man dann
�? die reellen Zahlen.
Will man bei diesen aus negativen Zahlen die Wurzel ziehen, klappt es nicht. Daher braucht man
ℂ die komplexen Zahlen.
Und damit ist man erst einmal fertig.
In allen Zahlenmengen sind die jeweils vorhergehenden mit enthalten.
Du kannst ja beispielsweise 2 = 4/2 schreiben.
Den |R hat er nicht interpretieren können, unser Editor.
Der wird hier also nachgeliefert.
(Reelle Zahlen)
Seltsam, die anderen hat er doch gekonnt.
Reelle Zahlen: So ziemlich alles, mit dem du in der Schule konfrontiert wirst. Komplexe Zahlen lernt man meines Wissens nicht mehr in der Schule...
Rationale Zahlen: Alle Zahlen, die als Bruch dargestellt werden können. Also fast alles, nur eben nicht Pi, die Eulersche Zahl oder Quadratwurzel aus 2.
Ganze Zahlen: Alle Zahlen, die ganz sind (ist doch nicht so schwer). Zum Beispiel 1, 2, 3, 4, aber auch -1, -2, -3, ...
Natürliche Zahlen: Alle ganzen positiven Zahlen.
Hast recht. Sorry, war nicht beabsichtigt, dass das so klingt.
Reelle zahlen sind so ziemlich alle brüche wurzeln pi usw. Rationale sind alle die als dezimal- oder eben auch bruchzahl dargestellt werden können ausnahmen sind pi und die wurzel aus 2 Ganze zahlen sind alle negativen und positiven zahlen also -3 -2 -1 0 1 2 3 Natürliche zahlen sind alle positiven zahlen also einf 1 2 3..
Ganze (natürliche) Zahlen: 1,2,3,4
Rationale Zahlen: Ganze Zahlen und Brüche
Reelle Zahlen: Alle Zahlen, wie auch Pi und Wurzel 2
Haha, du tust ja fast so als gäbe es nur 3 irrationale Zahlen. :D