-1^unendlich?
Was ist -1^unendlich?
Wenn es undefiniert ist dann ist unendlich keine gerade und keine ungerade Zahl wie nennt man dann diese Zahl?
Gibt es noch andere Zahlen die weder gerade noch ungerade sind? (Ich denke nicht)
9 Antworten
Ja, die Folge (-1)^n konvergiert im üblichen Sinne nicht, denn es gibt zwei Unterfolgen, die jeweils gegen verschiedene Werte streben, nämlich
- (-1)^2n —> 1
- (-1)^{2n+1} —> -1
Ob unendlich (=ω) gerade oder ungerade ist? Ich glaube, in einem gewissen Sinne gilt beides. Doch wie definiert man „gerade“ und „ungerade“ für unendliche Zahlen?…
Ich gehe dieses Problem folgendermaßen ein. Zunächst einmal stellt man Zahlen mittels Mengen dar:
- die Zahl 0 sei die Menge mit nichts drin {}, die leere Menge
- die Zahl n sei eine Menge mit n Elementen, und da 0, 1, …, n–1 bis jetzt schon als paarweise verschiedene Mengen definiert worden sind, sei n := {0; 1; …; n–1}. Diese Menge ist auch offenbar verschieden von den vorigen Zahlen, weil sie genau n Elemente enthält, während die vorigen Zahlen/Mengen weniger als n.
Die Zahl Unendlichkeit im Sinne von einem Grenz der natürlichen Zahlen ist die sog. erste unendliche Ordinalzahl, ω := {0; 1; …; n; n+1; … } (eig. ist gleich die Zahlmenge N). (Man kann weiter gehen: ω+1 = {0; 1; …; n; n+1; … ω}, ω+2 = {0; 1; …; n; n+1; … ω; ω+1}, usw. Es ist wirklich krank, und man merkt sofort, es gibt mehr als nur die eine Unendlichkeit)
Man kann nun die Definition von Geradesein verallgemeinern wie folgt:
- Eine Menge A heißt dann gerade, wenn es eine Involution f : A —> A gibt mit f(x) ≠ x für alle x. (Eine Funktion g : X—>X heißt dann eine Involution, wenn g○g = Id, d. h., g(g(x)) = x.)
- Eine Menge A heißt dann ungerade, falls es einen Punkt x₀ ∈ A gibt, so dass A \ {x₀} ist gerade.
Man kann zeigen
- (1.) Für jedes n eine natürliche Zahl die Menge mit n Elementen, A := {0; 1; …; n–1}, ist gerade (bzw. ungerade) <==> n ist gerade (bzw. ungerade). Also ist
- (2.) Jede Menge ist entweder gerade oder ungerade.
- (3.) Unendliche Mengen sind beide gerade und ungerade.
Punkt (3) kann man umgehen, wenn die Rahmen der Definition etwa beschränkter sind. (Zum Beispiel, was A ist, welcher Klasse Funktionen die Involutionen gehören sollen.)
Zurück zu deiner Frage: Nach dieser Definition ist ω sowohl gerade als auch ungerade:
- die Funktion f : ω —> ω definiert durch f(2k) = 2k+1 und f(2k+1) = 2k für k in N, zeigt dass ω gerade ist.
- die Funktion f : ω{0} —> ω{0} definiert durch f(2k) = 2k-1 und f(2k-1) = 2k für k in N{0}, zeigt dass ω{0} gerade ist und mithin dass ω ungerade ist.
Ach ja, und der Punkt wäre etwa: dass Unendlich beides gerade und ungerade ist, ist im etwa Einklang mit der Tatsache, dass sich (-1)^ω als Grenzwert der Folge (-1)^n nicht als genau eine von +1 oder -1 definieren lässt.
-1^∞ ist nicht definierbar.
Aber von vorne: Das Symbol ∞ ist in der Mathematik keine Zahl oder gültiger Rechenoperator, sondern zeigt an, daß der Grenzwert einer Folge von Zahlen oder einer Funktion über alle Grenzen hinaus wächst.
Klingt kompliziert, deswegen praktische Beispiele:
Nehmen wir die Funktion f(n) = 1/n und setzen immer größere Werte ein. An den Ergebnissen sieht man, daß diese immer kleiner werden und gegen 0 streben, diesen Wert aber nie erreichen können. Der Mathematiker schreibt dafür:
lim n->∞ 1/n = 0
Lies: Der Grenzwert der Funktion 1/n für n gegen ∞ ist 0.
Die Schreibweise ist nicht ganz korrekt (es gibt leider keinen Formeleditor hier), deswegen verweise ich auf den verlinkten Wiki-Artikel.
Achtung: Diese Grenzwertbetrachtung darf nicht mit einer einfachen Gleichung verwechselt werden. Du kannst also nicht schreiben:
1/∞ = 0
Das ist falsch, denn hier könnte man so weiterrechnen:
1/∞ = 0 | ∞ 1 = 0∞ 1 = 0
Und das ist ja offensichtlich falsch!
Das war das erste Beispiel: Eine Folge, die gegen einen definierten Grenzwert tendiert, nennt man konvergente Folge.
Zweites Beispiel: Wir betrachten die Funktion f(n) = n². Je größer n wird, desto größer wird auch f(n). Das Ergebnis wächst über alle Grenzen hinaus. Also:
lim n->∞ n² = ∞
Eine solche Folge wird bestimmt divergent genannt.
Und jetzt zu deinem Fall: -1^n springt zwischen -1 und 1 hin und her. Es gibt also keinen Grenzwert, gegen den sie konvergiert und die Folge ist auch nicht bestimmt divergent. Solche Folgen sind unbestimmt divergent, hier kann kein Grenzwert angegeben werden.
Man kann das jetzt noch erweitern zu n * -1^n, dann erhält man die Folge -1, 2, -3, 4, -5... die gegen +∞ und -∞ strebt.
Die Folge -1^n / n hingegen hat wieder einen Grenzwert, nämlich 0.
Und zu deiner letzten Frage: Natürlich gibt es jede Menge Zahlen, die weder gerade noch ungerade sind: Was ist mit rationalen Zahlen? Ist 5/2 gerade oder ungerade? Keines von beiden! Was ist mit ratonalen Zahlen wie Wurzel 2?
Für Mathematiker "interessant" sind aber vor allen Zahlen wie e (Eulersche Zahl) , Pi oder das irrationale i als Wurzel aus -1.
P.S: zur korrekten Schreibweise siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Folge%29
Die einzig sinnvolle Definition von (-1)^unendlich wäre der Grenzwert der Folge
(-1)^n mit n -> unendlich.
Diese Folge hat aber keinen Grenzwert. Also ist (-1)^unendlich nicht definiert - und damit hat die Frage, ob gerade oder ungerade auch nicht sinnvoll.
Auch für unendlich (verstanden als Grenzwert von n, n-> unendlich) lässt sich diese Frage nicht beantworten, auch dieser Grenzwert existiert nicht.
Wenn es undefiniert ist dann ist unendlich keine gerade und keine ungerade Zahl wie nennt man dann diese Zahl?
Es ist undefiniert. "Unendlich" ist gar keine Zahl. Demzufolge natürlich auch weder gerade noch ungerade.
Hi,
ich vermute zunächst, dass du (-1)^unendlich gemeint hast. Dieser Ausdruck ist nicht definiert (zumindest nicht in der gängigen Mathematik), aber das hat nichts mit gerade oder ungerade zu tun, sondern damit, dass unendlich keine Zahl ist.
LG
Dass muss lesen: N \ {0} und ω \ {0}.
P. S: zu den nichtkonvergierenden Folgen… eine andere interessante Frage lautet:
Da die partiellen Summen zwischen 0 und 1 schwanken, könnte man den Wert 1/2 wählen. Doch wie rechtfertigt man dies? Hinweis: man betrachtet die Summe ∑ x^k, wenn sie konvergiert.