Die mittlere Geschwindigkeit bzw. Durchschnittsgeschwindigkeit ist, wie die Namen schon andeuten, ein Geschwindigkeitsmittel. Es gibt daher kein Bezugspunkte, sondern zwei Bezugspunkte die du wählen musst um diese berechnen zu können.

Die Geschwindigkeit v ist definiert über den Weg s und Zeit t:

v = s / t

Die mittlere Geschwindigkeit/Durchschnittsgeschwindigkeit daher aus den Differenzen:

dv = ds / dt = (s2 - s1) / (t2 - t1)

Dabei bezieht sich 2 und 1 auf die jeweiligen Punkte, wobei 2 immer der spätere Zeitpunkt sein soll.

Zwei Punkte P der Form P(s | t):

P1(10 km | 50 s)

P2(20 km | 88 s)

Jetzt mit der obigen Formel:

dv = (20 km - 10 km) / (88 s - 50 s) = 10.000 m / 38 s

dv = 263,2 m/s = 947 km/h

Mich würde es sehr interessieren ob Ihre Tochter schon Erfolge damit gemacht hat bzw. ob Sie mir bescheid geben könnten wenn ein Ergebnis vorliegt. :)

I. Aussage: Mutter (a), Vater (b) und Sohn (c) sind zusammen (Summe) 86 Jahre alt:

a + b + c = 86

II. Aussage: Die Mutter (a) ist dreimal so alt wie ihr Sohn (c):

a = 3c

III. Aussage: Der Sohn (c) ist 26 Jahre jünger als der Vater (b):

b = c + 26

II. in I: Schlussfolgerung A

4c + b = 86

III. in A: Es folgen ...

... der Sohn (c) ist 12 Jahre alt.

5c = 60
c = 12

... der Vater (b) ist 38 Jahre alt.

4 * 12 + b = 86
b = 86 - 4 * 12
b = 86 - 48
b = 38

... die Mutter (a) ist 36 Jahre alt.

a = 3c
a = 3 * 12
a = 36

Gebrochen-rationale Funktionen:

f(x) = g(x) / h(x)

Erkennbar ist, dass es also aus zwei Funktionen abhängig von x aufgebaut ist. Schauen wir uns das an, ist folgendes erkennbar:

g(x) = 2x³ + 4x 

h(x) = 2 + x²

Umgeschrieben, also sortiert nach Exponenten von x:

g(x) = 2x³ + 4x 

h(x) = x² + 2

Dabei ist sofort erkennbar, dass 2x³ + 4x auch ausgeklammert werden kann, also:

g(x) = x(2x² + 4) 

h(x) = x² + 2

Betrachten wir mal den wesentlichen Zusammenhang zwischen den Bruch:

h(x) = x² + 2 

2 * h(x) = 2x² + 4

Fällt was auf?

Wir hatten beides. Letzten Endes wurde die Tabelle zugelassen, aber um das ganze zu verstehen sind wir die Theorie bis zum Erbrechen durchgegangen und im Zuge dessen haben wir das Berechnen gelernt.

Wie wäre es nicht nur gemachte, sondern auch existente Aufgaben zu markieren. Als erstes markiert sie alle Aufgaben mit einem roten x an der Seite. Wenn sie die erledigt hat markiert sie neben den rotem x ein grünes Häckchen.

Fehlt hier nicht die Angabe der Kraft des Zuges?

Fliegen ohne Turbulenzen:

v = 700 km/h
t = 8 h
s = vt = 700 km/h * 8 h
s = 5.600 km

Fliegen mit Turbulenzen:

s(2) = 5.600 km * 1/4
s(2) = 1.400 km

t = t(1) + t(2) und mit t = s/v folgt:

t = s(1)/v(1) + s(2)/v(2) = (5.600 - 1.400) km/h / 700 km/h + 1.400 km / 520 km/h
t = (4.200 / 700 + 1.400 / 520) h
t = 8,69 h = 8 h 42 min

dt = (8,69 - 8,00) h = 0,69 h
dt = 42 min

Fleiß macht alles.

Gehen wir hier mal von der Theorie aus: Es ist egal, welchen Funktionstypen du annimmst. Wichtig ist nur, dann der günstigste Funktionstyp gewählt werden sollte. Hierzu kann man seinen Datensatz (d.h. alle Punkte) graphisch auftragen.

Man nimmt also einen Funktionstypen an und prüft inwiefern die Punkte durch den gewählten Funktionstypen sachgerecht wiedergegeben werden kann. Hierzu gibt es eine Menge Möglichkeiten das zu prüfen. Ich persönlich habe hierfür oft Excel verwendet, auch wenn rein wissenschaftlich oft davon abgeraten wird. Hier kann man den angenommenen Funktionstypen wählen und dann berechnet Excel jene Kurve die am besten die Punkte wiedergibt, beschränkt sich dabei aber darauf den Funktionstypen unweigerlich zu behalten.

Die Ergebnisse sind oben in den Bildern veranschaulicht. Bei manchen Graphen sieht man eindeutig: logarithmisch, linear und Potenz geben die Punkte in keiner Weise gut wider. Die quadratische Funktion (polynomisch n = 2) sowie die kubische (n = 3) geben die Punkte auch genügend gut wieder. Aber wirklich exakt ist hier nur die exponentielle Funktion.

Sind feine Unterschiede zwischen verschiedenen Funktionstypen vorhanden und man kann nicht genau erkennen welcher nun der richtige ist: Dafür gibt es Werte die generiert werden können und angeben inwiefern auf mathematischer Ebene durch den generierten Graphen sowie deren Funktionsgleichung die Punkte wiedergeben. Excel bietet hierfür den Bestimmtheitsmaß (nicht genormt!). In manchen Fällen ist es günstig den Wert heranzuziehen um zu entscheiden welcher gewählte Funktionstyp besser ist. Hierzu sollte man aber auch wissen was das Bestimmtheitsmaß überhaupt angibt.

Ist es verwendbar oder genügend verwendbar, so zeigt jener Funktionstyp mit der besten Näherung an den Punkten die geringste Abweichung von 1 (s. R² = ...).

Den von mir gewählten exponentiellen Verlauf bietet ein R² = 1. Eindeutige Aussage.

Das ist nur ein kleiner Einstieg ins Thema. Das Thema bietet viel mehr was man wissen müsste, aber ein Abriss hast du damit alle mal bekommen. Weiterhin ist zu sagen, dass das die graphische Methode ist. Den mathematischen Background liefert hier Excel.

Willst du es mathematisch lösen, so könntest du z.B. auch numerisch vorgehen. Hierzu verwendest du die Grundgleichung eines Funktionstypen und berechnet mittels Punkte innerhalb eines Gleichungssystems die einzelnen Koeffizienten. Stimmen diese Koeffizienten annähernd überein und die Probe ergibt erwartete Werte, dann kann vorerst angenommen werden, dass der richtige Funktionstyp erwischt wurde.

Meistens ist ein geeigneter Ansatz die graphische Betrachtung des Datenverlaufs. Dieser liefert mit genügend Grundwissen meist die richtige Vermutung des Funktionstypen. Bevor man eine Gleichung ermitteln möchte muss man einen Funktionstypen vorgeben. Denn die Ermittlung einer Gleichung erfolgt meist über die Normalform eines angenommenen Funktionstypen.

Sammeln der Informationen:

• Zwei Geraden: g1, g2
• y1 = g1 = (7/2)x + 16
• Punkt A(-5 | y(-5))
• g1 und g2 schneiden sich im Punkt A
• Die Steigung von g2 ist m2 = 0,25 = 1/4

Um eine Gerade in ein Koordinatensystem zu zeichnen sind zwei Punkte notwendig. Der erste Punkt ist leicht zu berechnen, da sowohl A ein Punkt von g1 und g2 ist. Setzen wir nun den x-Wert des Punktes A in die Funktionsgleichung von g2 ein, so berechnet sich der y-Wert des Punktes A zu:

g1(-5) = (7/2)*(-5) + 16 = -35/2 + 16 = -35/2 + 32/2 = -3/2

Also folgt A(-5 | -3/2). Du kennst die Steigung der Geraden g2. Geraden gehören zu den linearen Funktionen und besitzen die Normalform:

f(x) = mx + n

wovon du für g2 den Anstieg kennst. Das bedeutet, dass die Funktionsgleichung von g2 ein Schritt weiter so auszusehen hat:

g2(x) = (1/4)x + n

Wenn man hier nun den x- sowie y-Wert eines bekannten Punktes von g2 einsetzt, dann wird ersichtlich, dass nur noch eine Variable und zwar n offen ist. Es würde mit A folgen:

(-3/2) = (1/4)*(-5) + n

Hier lässt sich einfach nach n umstellen:

n = (-3/2) - (1/4)*(-5) | ausrechnen!
n = (-3/2) - (-5/4)
n = -3/2 + 5/4
n = -6/4 + 5/4
n = -1/4

Und somit folgt für g2:

y2 = g2(x) = (1/4)x - 1/4

• 5l von a%-Alkohol gemischt mit 5l von b%-Alkohol ergibt 10l von 54%-Alkohol
• 6l von a%-Alkohol gemischt mit 4l von b%-Alkohol ergibt 10l von 48%-Alkohol

Es folgen also zwei Gleichungen:

• 5a + 5b = 10 * 54%
• 6a + 4b = 10 * 48%

Zwei Gleichungen sowie zwei Unbekannte a und b. Eine Gleichung nehmen, umstellen nach a oder b. Einsetzen in die andere Gleichung um entsprechend a oder b zu eliminieren. Es bleibt a oder b übrig und danach kann umgestellt werden.

Du weißt über die Maschine zwei markante Punkte deiner unbekannten Leistungsfunktion P(t):

• A(0 h | 7,20 MJ/h)
• B(24 h | 2,51 MJ/h)

Weiterhin weißt du, dass deine Funktion exponentieller Natur ist und daher den folgenden Grundaufbau hat:

P(t) = na^t + P(0)

Da du nur zwei Punkte gegeben hast und der Aufbau der Funktionsgleichung drei Unbekannte beinhaltet, handelt es sich wahrscheinlich um eine natürliche Exponentialfunktion, also zur Basis e (Euler-Zahl!):

P(t) = ne^t + P(0)

Setzt du nun jeweils beide Punkte in die Gleichung ein, kommst du auf zwei Gleichungen und zwei Variablen. Behandle dies als Gleichungssystem und verwende Eliminierungs- oder Einsetzungsverfahren.

Die Fläche unter dem Graphen deiner Leistungsfunktion ist die Arbeit. Also nimmst du deine ermittelte Funktionsgleichung und leitest diese nach t auf um die Stammfunktion zu bilden. Diese beschreibt nämlich die Fläche unter dem Graphen. Nun berechnest du schlichtweg deren W(t)-Wert zum Zeitpunkt t = 24 h.

Mathematisch genauer berechnest du die Differenz von W(24 h) zu W(0 h). Man kann auch sagen, dass du deine Leistungsfunktion P(t) in den Grenzen 24h und 0 h integrierst.

Die Winkelfunktionen liefern drei Möglichkeiten:

• sin a = G/H
• cos a = A/H
• tan a = G/A

A: Ankathete
G: Gegenkathete
H: Hypotenuse
a: Winkel Alpha

In deiner Aufgabe ist jederzeit nur von der Gegenkathete (hier: die Höhe h) sowie die Ankathete (hier: die Entfernung zum Hindernis) die Rede. Daher sollte man genau jene Möglichkeit der Winkelfunktion wählen, wo auch dort von beiden die Rede ist. Daher ist die einzige Möglichkeit die Tangens-Funktion mit

tan a = G/A

Deine Ankathete hat für den Fall a = 25° die Länge A = x + e = x + 50 m und im Fall a = 40° die Länge A = x. Die Höhe bleibt immer gleich.

Stellst du nun für beide Fälle mittels der genannten Tangens-Funktion Gleichungen auf, dann stellt sich heraus, dass du letzten Endes zwei Gleichungen hast und zwei Variablen/Unbekannte. In der Mathematik gilt: Ein Gleichungssystem ist dann lösbar, wenn mindestens so viele Gleichungen wie Unbekannte vorhanden sind und diese Gleichungen unabhängig voneinander sind. Dies ist hier der Fall.

Jetzt behandelt du das ganze als Gleichungssystem und verwendest Gleichsetzungs- oder Eliminierungsverfahren. Da zuerst x berechnet werden soll bzw. es empfohlen wird, empfehle ich das Umstellen einer Gleichung nach h und das Einsetzen dieser dann in die andere Gleichung. Das Ergebnis hieraus stellst du nach x um.

Hast du x berechnet, hast du h schnell berechnet.

Achte hierbei auf das richtige Umstellen der Gleichungen, denn hier werden viele Fehler gemacht!

Das bedeutet für dich: Beachte

• das Aus-/Einklammern von Variablen oder Zahlen
• das Trennen von Brüchen, da im Zähler oder Nenner eine Summe vorhanden ist und
• kürze keine Summen im Quotienten/Bruch!

Die Länge oder Betrag eines Vektors lässt sich über den Satz des Pythagoras berechnen. Hierzu müssen alle Differenzen der einzelnen Achsenwerte der Punkte als Längen genommen werden. Das folgende d steht für Differenz.

AB = Wurzel(dx² + dy² + dz²)
dx² = (p - 6)² = (p - 6)(p - 6) = p² -12p + 36
dy² = [-2 - (-4)]² = (-2 + 4)² = 2² = 4
dz² = (3p - p)² = (2p)² = 4p²

dx² + dy² + dz² = p² - 12p + 36 + 4 + 4p² = 5p² - 12p + 40

Und damit die quadratische Funktion:

f(p) = 5p² - 12p + 40

Hier fehlt aber noch die Länge 6 die wie oben stehend auf der anderen Seite der Gleichung steht. Zieht man diese in die Wurzel, folgt:

g(p) = 5p² - 12p + 4 = 0

der bedingt der Berechnung mittels Wurzelfunktion positiv größer Null sein muss. Folglich PQ-Formel anwenden, aber vorher die Funktion in die für die PQ-Formel geeignete Form darstellen:

p² - 12/5p + 40/5 | a = -12/5; b = 4/5

(da p schon vorkommt nehme ich a und b als Bezeichnung für p und q der PQ-Formel!)

p1/2 = 12/10 +/- Wurzel(12²/10² - 4/5)
p1/2 = 12/10 +/- Wurzel(144/100 - 80/100)
p1/2 = 12/10 +/- Wurzel(64/100)
p1/2 = 12/10 +/- 8/10
p1 = 2; p2 = 0,4

Probe:

Wurzel[f(2)] = Wurzel(5*2² - 12*2 + 40) = Wurzel(36) = 6
Wurzel[f(0,4)] = Wurzel(5*0,4² - 12*0,4 + 40) = Wurzel(0,8 - 4,8 + 40) = 6

Also gibt es für p zwei mögliche Lösungen.

Wurzel(12a³) - Wurzel(3a³) = Wurzel(12a³ - 3a³) = Wurzel(9a³) = 3 * Wurzel(a³)

Man unterscheidet in Messwerte und exakte Werte. Je nachdem was eine Zahl ist innerhalb einer Rechnung behandelt man sie entsprechend. Exakte Werte haben unendlich viele signifikante Stellen und wird innerhalb der Berechnung nur durch Messwerte in der Angabe des Ergebnisses begrenzt.

Nehme ich die Rechnung 900 - 0,010 dann hat zwar 900 drei signifikante Stellen und 0,010 zwei, jedoch liegen die in einem anderen Bereich. Die Genauigkeit endet bei 900 mit der 0 im Einserbereich. Das ist der ungenaueste Wert und daher muss das Ergebnis auf die Einzerstelle gerundet werden.

Wenn zwei Werte miteinander addiert oder subtrahiert werden mit signifikanten Stellen die sich in den Bereichen nicht überschneiden, dann fällt der genauere Messwert komplett weg.

Das Ergebnis wäre zwar: 900 - 0,010 = 899,90, jedoch muss das Ergebnis mit 900 angegeben werden.

Polynomfunktionen n-ten Grades haben auch nur maximal

• n Nullstellen
• (n-1) lokale Extrempunkte (d.h. Hoch- oder Tiefpunkt)
• (n-2) Wendepunkte

Mit n ist jener Exponent von x gemeint, der am höchsten ist. Bei der Funktion 3x² - 4 hat 3x² mit n = 2 den höchsten Exponenten. Setzen wir das nun in die oben genannten "Formeln" ein und es ergibt sich explizit für deine Funktion:

• 2 Nullstellen
• 1 lokaler Extrempunkt
• 0 Wendepunkte

Sattelpunkte sind sog. horizontale Wendepunkte und somit ein Spezialfall der Wendepunkte. Der Spezialfall tritt dann ein wenn die zusätzliche Bedingung f'(x) = 0 am Punkt des Wendepunktes eintritt.

Ich habe irgendwas an mir. Tiere mögen mich ziemlich, oder absolut gar nicht. Was dazwischen habe ich nie erlebt. Wenn ein Tier mich nicht mag, dann verändere ich meine Herangehensweise. Meine Eltern haben eine Katze die weder mit anderen Katzen klar kommt, noch mit Menschen allgemein. Die einzige Bezugsperson ist meine Mutter. Und wahrlich: Die Katze hat wirklich einen an der Waffel.

Wie habe ich es geschafft, dass ich sie streicheln kann und man es sieht, dass die Katze das auch mag? Jedes mal wenn ich Sie gesehen habe, habe ich mich sehr sachte bewegt. Und wenn sie sich leicht zusammengezuckt hat und kurz vorm Abhauen war: Dann bin ich stehen geblieben, habe einen anderen Weg genommen oder habe mir die Zeit anders vertrieben. Wenn sie in der Nähe war und durch den Raum wollte, ich aber im Raum war: Hab mich auf den Boden gelegt und nicht bewegt. Es hat zwar manchmal eine halbe Stunde gedauert, aber sie roch an mir und verschwand dann wieder schnell.

Katzen merken über die Zeit ob du Rücksicht nimmst oder nicht. Ich wurde damit belohnt was ich wollte: Sie ließ sich irgendwann streicheln.