Zurückführung auf besondere Winkel des 1 Quadranten?
Hallo, in der Aufgabe soll man auf die Werte Spitzer Winkel zurückführen ohne einen Taschenrechner zu benutzen.
1) sin120 grad
2) tan120 grad
Wie soll ich vorgehen ?
Danke im Voraus
4 Antworten
sin (120°) = sin (180° - 120°) = sin (60°)
tan (120°) = -tan (180° - 120°) = -tan (60°)
Üblicherweise trägt man ja beim Koordinatensystem die x-Achse nach rechts und die y-Achse nach oben ein. Winkel misst man ab der positiven x-Halbachse entgegen dem Uhrzeigersinn (mathematisch positiver Drehsinn; von positiver x-Halbachse in Richtung der positiven y-Halbachse).
Stell dir jetzt einen Einheitskreis um den Ursprung in das Koordinatensystem eingezeichnet vor. (Oder zeichne ein Koordinatensystem mit Einheitskreis - die Einheit kann ruhig etwas größer sein, z. B. 10 cm, dann sieht man mehr.)
Wenn du einen Radius vom Ursprung zum Einheitskreis zeichnest, der mit der positiven x-Halbachse den Winkel alpha einschließt, dann ist
sin(alpha) = y-Koordinate des Schnittpunktes von Radius und Einheitskreis
cos(alpha) = x-Koordinate des Schnittpunktes von Radius und Einheitskreis
und zwar für jeden beliebigen Winkel alpha.
Weiter gilt noch:
tan(alpha) = sin(alpha) / cos(alpha)
(wobei hier ausnahmsweise der Wert ±∞ zulässig ist)
Der Winkel zwischen den Koordinatenachsen ist natürlich 90°. Die positive x-Halbachse entspricht dem Winkel 0°, die positive y-Halbachse dem Winkel 90°, die negative x-Halbachse dem Winkel 180° und die negative y-Halbachse dem Winkel 270° = -90°.
Mit diesen Angaben solltest du dir die nötigen Beziehungen herleiten können, etwa
sin(180° - alpha) = sin(alpha)
cos(alpha - 180°) = - cos(alpha)
Du sollst einen Winkel zwischen 0° und 90° angeben, der den selben Sinuswert wie 120° hat.
Dann sieh dir doch mal die Sinuskurve an, bestimme den Wert bei 120° und suche den Winkel in dem gesuchten Bereich, der den selben Wert hat.
Wenn du ihn nur ungefähr findest, kannst du ja genauer suchen.
Tipp1: da 120 eine ganze Zahl ist, wird die Lösung auch eine ganze Zahl sein.
Tipp2: Suche mal nach Symmetrien. Falls es eine Achsensymmetrie ist, kannst du daran spiegeln.
Bei tan 120° mache es analog. Es kommt aber was anderes raus. Denke auch an die negativen Werte, die du am bestern nicht von Vornherein ausschließt.
120° ist 30 ° über 90 °, 90 ° - 30 ° = 60 °
sin(120 °)=sin(60 °)
cos(120 °) = -cos(60 °)
tan (120 °) = sin (120 °) / cos(120°)=sin(60 °)/-cos(60 °)=-tan(60 °)