Zeigen dass Relation äquivalenzrelation ist?
Hey ,
also ich habe folgende Relation : (a,b) ~ (c,d) . Diese ist so definiert : a + b = c + d
Ich soll zeigen, dass es eine Äquivalenzrelation ist.
Reflexiv: a +b = a + b gilt ja offensichtlich, also (a,b) ~ (a,b)
symmetrisch : a+ b = c+d -> a+b -(c+d) = 0 -> -(c+d) = - (a+b) -> c+d = a + b also (c,d) ~ (a,b)
Hier kann man theoretisch auch direkt sagen dass die symmetrie gilt , wollte es aber bisschen mathematischer.
transitivität:
(a,b) ~ (c,d) und (c,d) ~ ( e,f) gilt
dann kann man sagen, da reflexivität gilt:
(c,d) ~ (c,d) -> a + b = c + d = c+ d
da c + d = e + f gilt können wir c + d ersetzen. Also a + b = c + d = e + f und damit a+b = e + f und (a,b ) ~ (e,f)
hier gilt natürlich auch wieder ich könnte direkt sagen , dass es gilt aber mich würde interessieren ob diese Begründung auch legitim ist.
Gruß
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/eterneladam/1673990853932_nmmslarge__0_0_3023_3024_b3ab443b0f60481e81ea92643ef07370.jpg?v=1673990854000)
Reflexiv: a+b = a+b --> (a,b) ~ (a,b)
Symmetrisch : (a,b) ~ (c,d) --> a+b = c+d --> c+d = a+b --> (c,d) ~ (a,b)
Transitiv: (a,b) ~ (c,d) und (c,d) ~ (e,f) --> a+b = c+d und c+d = e+f --> a+b = e+f --> (a,b) ~ (e,f)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/eterneladam/1673990853932_nmmslarge__0_0_3023_3024_b3ab443b0f60481e81ea92643ef07370.jpg?v=1673990854000)
Ich habe versucht zu zeigen, wie man das möglichst kurz, aber formal korrekt macht. Deine Ausführungen sind auch korrekt, aber etwas umständlich.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Ja, deine wäre natürlich um einiges Übersichtlicher. Danke dir.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/11_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Es ist legitim das ohne Beweise als gegeben hinzunehmen Ausser es ist eine Übungsaufgaben zum Thema.
Es wird klar wenn man abstrakter wird: Dann ist deine Relation durch eine Funktion induzierte Äquivalenzrelation: a R b gdw. f(a)=f(b)
Wie ist dann der Beweis wenn man einen machen möchte
Folgt aus dem das = eine Äquivalenzrelation ist Bzw mit Details
f(a)=f(a) folgt a R a
aRb folgt fa=fb folgt fb=fa folgt bR
aRb und bRc folgt fa=fb und fb=fc folgt fa=FC folgt aRc
Ich verstehe beim.besten Willen nicht wie die Reflektivitlt bei dircin den Teansitivitätsbeweis einfließen.
Dein Symetrieargument ist unnötig unübersichtlich
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Die Begründung ist sehr gut, da brauchst du keine Bedenken zu haben.
Ich hoffe, das hat dir geholfen :)
danke, aber mich würde interessieren ob man es auch so machen könnte wie ich obwohl es mehr Schritte sind als benötigt.