Wo ist der Unterschied bei f(-x) und -f(x)?
Hallo liebe Community! Ich schreibe morgen eine Mathearbeit und wir haben gerade das Thema symmetrische Funktionen. Um fest zu stellen, ob die Parabel symmetrisch zum Ursprung oder zur y-Achse ist, muss man ja f(-x) und -f(x) bestimmen. Ich verstehe nur nicht, wo da der Unterschied ist. Zum Beispiel: f(x)=2x³-4x³ D=R Also: f(-x) =2•(-x)³-4•(-x)³= -2x³+4x³ Und bei -f(x) =-(2x³-4x³)= -2x³+4x³ Irgendwie kommt da bei f(-x) und -f(x) das Gleiche raus. Kann mir jemand sagen, was ich falsch gemacht habe? LG Alisha.
3 Antworten
Die Funktion kann man zusammenfassen als:
f(x)= -2x^3 Einsetzen von (-x) in f(x) ergibt;
f(-x)= -2*(-x)^3 = 2x^3 und dies entspricht -(f(x)), also lässt sich sagen:
-2(-x)^3 = f(-x)= -f(x) = 2x^3
Und damit handelt es sich um eine Funktion, die Punktsymetrisch zum Ursprung ist.
Hallo alishaxyz,
das Thema Symmetrie Verhalten fand ich immer am schwersten bei der Differenzialrechnung. Aber ich versuche es mal zu erklären.
f(x) => ist die Funktion
f(-x) => ist die Funktion, in der jedes x durch ein -x ersetzt wird
Dabei ist zu beachten, dass z. B (-x)² = x² ergibt und (-x)³ = -x³
-f(x) ist die gegebene Funktion mit einer Klammer drumrum und ein Minus davor
Achtung beim Auflösen der Klammer:
Minus * Minus = Plus
Plus * Minus = Minus
Nehmen wir Dein Beispiel
f(x)=2x³-4x³
Da die Exponten (=Hochzahl) gleich sind, kannst du deine Funktion zusammenfassen f(x) = -2x^3
Wenn wir jetzt die Achsensymmetrie f(x) = f(-x) prüfen wollen, brauchen wir die Funktion f(-x), d. h. wir setzen für jedes x ein -x ein und schauen mal, was dabei herauskommt
f(-x) = -2(-x)^3 = 2x^3
Die Funktion f(-x) und f(x) stimmen nicht überein, also nicht Achsensymmetrisch. Also nächstes Prüfen wir die Punktsymmetrie, dafür gilt: f(-x) = -f(x). Die funktion f(-x) haben wir ja gerade schon aufgestellt, jetzt brauchen wir noch -f(x).
-f(x) = -(-2x^3) = 2x^3
Jetzt siehst du, dass f(-x) und -f(x) gleich sind. Laut Defintion bedeutet f(-x) = -f(x), dass die Funktion Punkstymmetrisch zum Ursprung ist.
Wenn f(x) = f(-x) (Achsensymmetrie) und f(-x) = -f(x) beides nicht überein stimmmt, dann liegt gar keine symmetrie vor.
Ein Beispiel dafür:
f(x) = 4x³ + 1
f(-x) = 4(-x)³ + 1 --> f(-x) = -4x³ + 1
-f(x) = -(4x³ + 1) --> -f(x) = -4x³ - 1
Vergleichen wir jetzt f(x) = f(-x):
4x³ + 1 ≠ -4x³ + 1 --> keine Achsensymmetrie
Vergleichen wir -f(x) = f(-x):
-4x³ - 1 ≠ -4x³ + 1 --> keine Punktsymmetrie
Also du musst dir merken:
f(x) = f(-x) -> Achsensymmetrie zur Y-Achse
-f(x) = f(-x) -> Punktsymmetrie (wichtig, zum Ursprung)
=> Du berechnest f(-x) und schaust, ob f(x) oder -f(x) oder garnichts von beiden herauskommt. Letzteres heißt natürlich, gar keine Symmetrie, zumindest nicht zum Ursprung oder zur Y-Achse.
LG :)
Damit, dass du gezeigt hast, dass das Gleiche heraus kommt, hast du gezeigt, dass die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Symmetrisch zur y-Achse wäre die Funktion, wenn f(x) = f(-x) gelten würde.
Es gibt aber auch Funktionen, die weder symmetrisch zum Ursprung, noch zur y-Achse sind.
Danke, ich dachte ich hätte einen Fehler gemacht!:-)