Wieso kann man die Spannarbeit nicht mit der normalen Formel Kraft mal Weg berechnen?
Beim Spannen einer Feder verrichtet man Spannarbeit. Weshalb kann diese Arbeit nicht mit der Formel W = F * s berechnet werden ?
3 Antworten
Weil die Kraft, mit der man an der Feder ziehen muss, nicht konstant ist, sondern während des Spannens zunimmt. Die Formel W = F * s gilt nur, falls F konstant ist.
Generell ist W = F * s als Fomel immer irreführend. Eigentlich heißt es dE = v * dp. Um jetzt die Energie zu bekommen, muss man integrieren. Nur im einfachsten Fall, wenn F = dp/dt konstant ist, gilt die obige Formel. Was aber immer gilt, und was du dir merken kannst, ist folgendes:
W (oder E dann halt) ist die Fläche unter dem F / s Diagramm. Waagerecht wird der Weg s aufgetragen, senrecht die Kraft F. Wenn nun F konstant ist, dann hast du ja einfach eine waagerechte Linie und der Flächeninhalt dieses Rechtecks ist in der Tat F * s.
Bei einer Feder wächst F linear mit s an, also F = D * s (wobei D die Federkonstante ist), damit ist das Diagramm eine Gerade durch den Nullpunkt.
Du hast also ein Dreieck, und die Fläche ist ja dann Breite * Höhe / 2.
In diesem Fall gilt dann W = F * s / 2 => F = 1/2 * D * s^2.
Die allgemeine Definition der Arbeit ist das Integral:
W = ∫ F ds;
wobei die Grenzen des (bestimmten) Integrals Anfang und Ende des Weges sind. - Ist die wirkende Kraft konstant, so folgt daraus:
W = ∫ F ds = F ∫ 1 ds = F s;
ist aber die Kraft selbst vom Weg abhängig wie bei einer Feder: (je weiter die Feder schon gespannt ist, desto mehr musst du ziehen, um sie noch weiter zu spannen, also)
F = D s
(D Federkonstante), so folgt:
W = ∫ F s = ∫ D s ds = D ∫ s ds = (1/2) D s² .