Wielange darf sich ein Vermieter Zeit lassen, eine Bitte um berechtigte Untervermietung (1 von 4 Zimmern) zu genehmigen?

Ich gehe mal davon aus, du hast ihm eine Frist (mindestens 14 Tage) gesetzt.

Hat er die Frist verstreichen lassen, setzt du ihm eine Nachfrist.

Netzfund:

Antwortet der Vermieter auf Ihren Antrag nicht, so ist es möglich, nach Ablauf der Frist, Klage auf Erteilung der Erlaubnis zur Untervermietung zu erheben.

• Der Vermieter befindet sich dann in Verzug - Sie müssen nachweisen können, dass der Vermieter Ihr Schreiben erhalten hat.

Meist ist es sinnvoll, erst noch einmal zu mahnen und eine Nachfrist zu setzen.

Sie können in einer Mahnung (mit Nachfrist, ca. 10 Tage) - dem Vermieter ankündigen, dass Sie nach ergebnislosem Ablauf der Frist die Klage auf Erlaubniserteilung erheben

- und ggf. auch Schadenersatz wegen der Ihnen entgangenen Untermiete geltend machen werden - ein solcher Hinweis kann aber die Atmosphäre zwischen Ihnen und dem Vermieter "vergiften". 

Untermieterlaubnis vom Vermieter verweigert - Schadenersatz möglich 

Reagiert der Vermieter auch auf die Mahnung nicht, so sollten Sie sich rechtlich beraten lassen und können Ansprüche gerichtlich durchsetzen.

Erteilt der Vermieter keine Erlaubnis und besteht der Anspruch auf die Erteilung der Untermieterlaubnis, dann ist für Mieter eine „außerordentliche Kündigung mit gesetzlicher Frist“ (3 Monate) für den Mietvertrag möglich.

https://www.promietrecht.de/Untermieter/Untermieterlaubnis/Antrag-auf-Erlaubnis/Untervermietung-Erlaubnis-vom-Vermieterbekommen-beantragen-E1566.htm

Da steht was von einem Monat.

https://www.allrecht.de/alles-was-recht-ist/wohnung-untervermieten/#:~:text=Grunds%C3%A4tzlich%20spricht%20erst%20einmal%20nichts,mit%20Einwilligung%20des%20Vermieters%20tun.&text=Grunds%C3%A4tzlich%20ist%20eine%20Untervermietung%20nicht%20zu%20verbieten.