Wie zeige ich, dass es sich um ein konservatives Kraftfeld handelt?
Ich habe eine Kraft Fg, die an einem Ort r-Pfeil auf eine Testmasse m wirkt. Sie ist gegeben durch - (GmM/r^3) * r-Pfeil, wobei r^3 der Betrag des Ortsvektors ist. G ist die Gravitationskonstante und M die Masse des Objektes, das eine Kraft Fg am Ort r-Pfeil auf klein m ausübt.
Wie kann ich überprüfen oder zeigen, dass es sich hierbei um ein konservatives Kraftfeld handelt, d.h dass die Arbeit von a nach b gleich die negative Arbeit von b nach a ist? Kann ich von der Kraft Fg irgendwie auf die Geschwindigkeit oder so kommen?
1 Antwort
Das zeigt man in der Regel dadurch, dass man die Rotation des Felds berechnet und prüft, dass sie Null ist. Alternativ kannst du natürlich eine Stammfunktion (das Potential) finden, dass ein Potential existiert, wäre auch ein Beweis dafür, dass das Feld konservativ ist.
Wobei mir gerade kommt, dass die Null-Rotation allein noch nicht ausreicht, es muss auch der Defitionsbereich des Felds einfach zusammenhängend sein, was beim Gravitationsfeld einer Punktmasse natürlich nicht der Fall ist (da ist der maximale Definitionsbereich R³\{0} und das ist keine einfach zusammenhängende Menge. Die Sache mit der Stammfunktion wäre also geschickter, wenn du es ganz rigoros machen willst.
Welches Feld soll denn eine Rotation haben, wenn kein Vektorfeld? ;)
Die Intuition hinter den Nablaoperatoren ist nicht so einfach, ich tu mich da auch ziemlich schwer. Sie ist in den "Feynman Lectures" recht gut dargestellt, am Beispiel vom Geschwindigkeitsfeld eines Wasserstroms: https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_03.html
Okay danke sehr, schau ich mir an
Kann ich die Rotation überhaupt auf 0 überprüfen, wenn ich keine Beispielwerte habe?
Okay und warum ist das Integral von einer Funktion für eine Masse an einem Ort das Potenzial für das ganze Feld?
Das Feld wird ja von dieser Masse erzeugt. Und wir bilden ja nicht ein bestimmtes Integral sondern ein unbestimmtes, also eine Stammfunktion -- die hängt dann vom Ort ab und gibt den Potentialwert am jeweiligen Ort an.
Entweder über ein Linienintegral oder mit der sog. "Ansatzmethode" das Skalarpotential finden. Schön ist dann auch, dass der Gradient davon dann das Vektorfeld ergeben muss (Probe).
Warum hat ein Vektorfeld eine Rotation? Wie kann ich mir die Nabla-Operatoren physikalisch vorstellen?