Wie zeige ich, dass die Vektoren eine Basis bilden?
Hey,
ich habe die Vektoren " x² " , " 2x " und " x+1 " und soll zeigen, dass sie eine Basis von R<=2 [x] bilden.
Die lineare Unabhängigkeit habe ich nachgewiesen, ich weiß aber nicht wie ich allgemeingültig zeigen soll, dass die Vekotren gesamt R<=2 [x] bilden können.
Viele Grüße
1 Antwort
Wenn aus alpha1 * X² + alpha2 * 2X + alpha3 * (X+1) = 0 folgt, dass alpha1 = alpha2 = alpha3 = 0.
Alternativ:
Betrachte b1 = ( 0 , 0, 1 ), b2 = ( 0 , 2 , 0 ), b3 = ( 1 , 1 , 0 ). Das kannst du deswegen, weil es einen Isomorphismus zwischen R^3 und R<=2[X] gibt. Zeige auch hier dass aus alpha1 * b1 + alpha2 * b2 + alpha3 * b3 = 0 folgt, dass alpha1 = alpha2 = alpha3 = 0.
X², 2X und X+1 bilden ein Erzeugendensystem des R<=2[X]. Du kannst mit diesen Polynomen jedes Polynom mit Höchstgrad 2, also aus R<=2[X] bilden, indem du eine Linearkombination von X², 2X und X+1 bestimmst.
Seien u := X², v := 2X, w := X+1 aus R<=2[X] sowie a, b, c aus R. Dann gilt z := a * X² + b * 2X + c * (X+1) =
a * X² + 2b * X + c * X + c =
a * X² + (2b + c) * X + c und das ist wieder in R<=2[X].
Die Gleichung ist gut, danke dafür.
Damit hast du ja die lineare Unabhängigkeit nachgewiesen.
Das hab ich schon getan, mir fehlt nur noch zu zeigen, dass ich mit x² , 2x und x+1 gesamt R<=2[X] abbilden kann.
Ich weiß nicht wie ich sowas formell zeigen soll.