Wie wendet man die Substitutionsregel an?

Ich habe für das x(z)=sin(z)*r gewählt wobei x'=r*cos(z) ist, jedoch weiß ich nicht, wie ich die Grenzen verändern muss. Die Grenze ist -r bis r .

Die Funktion lautet int(sqrt(r^2-x^2),x,-r,r)

Answer 1

[ProfFrink]

Die Grenzen, die für die Variabel x gelten und von x = -r bis x = +r festgelegt sind, werden einfach mit substituiert. Du hast die Substitution x(z) = sin(z)*r gewählt. Dann lautet Deine neue Integrationsvariable jetzt nicht mehr x, sondern z. Folglich müssen die Grenzen jetzt auf z abgebildet werden. Dazu löst Du einfach Deine Substitutionsformel nach z auf.

$x=\sin\left(z\right)\cdot r$ $\frac{x}{r}=\sin\left(z\right)$ $z=\arcsin\left(\frac{x}{r}\right)$ Mit diesem Umkehrausdruck werden nun die neuen Grenzen berechnet.

Obergrenze:

$z_o=\arcsin\left(\frac{r}{r}\right)=\arcsin\left(1\right)=\frac{\pi}{2}$ Untergrenze:

$z_u=\arcsin\left(\frac{-r}{r}\right)=\arcsin\left(-1\right)=-\frac{\pi}{2}$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung