Wie vereinfache ich diese Rechnung?

Könnte es mir eventuell jemand Schritt für Schritt erklären?

Answer 1

[mihisu]

Vorne beim Bruch (8t)/6 kann man zunächst einmal mit 2 kürzen...

$\frac{8t}{6}=\frac{2\cdot 4t}{2\cdot 3}=\frac{4t}{3}$

Dein Hauptproblem dürfte jedoch wohl die Wurzel sein. Du kannst nutzen, dass

$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$

für alle reellen Zahlen a, b mit a ≥ 0 und b ≥ 0 gilt, und dass

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

für alle reellen Zahlen a, b mit a ≥ 0 und b ≥ 0 gilt.

Damit kannst du die Wurzel etwas auseinanderziehen...

$\sqrt{\frac{4t^2}{9}}=\frac{\sqrt{4t^2}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{4}\cdot \sqrt{t^2}}{\sqrt{9}}$

Nun solltest du 4 = 2² und 9 = 3² als Quadratzahlen kennen, und dann dementsprechend √(4) = 2 und √(9) = 3 erkennen.

Außerdem ist das Ziehen der Quadratwurzel eine Umkehrung zum Quadrieren. Für reelle Zahlen t mit t ≥ 0 gilt dementsprechend:

$\sqrt{t^2}=t$

Bei negativen Zahlen t muss man etwas aufpassen. Denn dort gilt tatsächlich √(t²) = -t. Bzw. kann man die beiden Fälle (für nicht-negative und negative Zahlen t) zu...

$\sqrt{t^2}=t$

zusammenfassen.

=============

Wenn t ≥ 0 gilt, kann man also folgendermaßen vereinfachen...

$\frac{8t}{6}\cdot \sqrt{\frac{4t^2}{9}}$

$=\frac{4t}{3}\cdot \sqrt{\frac{4t^2}{9}}$

$=\frac{4t}{3}\cdot \frac{\sqrt{4t^2}}{\sqrt{9}}$

$=\frac{4t}{3}\cdot \frac{\sqrt{4}\cdot\sqrt{t^2}}{\sqrt{9}}$

$=\frac{4\cdot t}{3}\cdot \frac{2\cdot t}{3}$

$=\frac{4\cdot t\cdot 2\cdot t}{3\cdot 3}$

$=\frac{4\cdot 2\cdot t\cdot t}{3\cdot 3}$

$=\frac{8\cdot t^2}{9}$

Wenn t hingegen eine reelle Zahl ist, die auch negativ sein kann, kann man √(t²) nicht zu t vereinfachen, sondern nur zu |t|. Dann erhält man stattdessen...

$\frac{8\cdot t\cdot \left\lvert t\right\rvert}{9}$

Answer 2

[Maxi170703]

Du kannst bei einem Produkt die Wurzel aufteilen, also Wurzel(a*b) = Wurzel(a) * Wurzel(b)

Answer 3

[aperfect10]

Tipp:

$\sqrt{x\cdot y} = \sqrt{x}\cdot\sqrt{y}$

und

$\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

für

$y \neq 0$

Hilft Dir das weiter?