Wie stellt man die Formel: O=Pi * r ^2 + Pi *r * s nach r um?
Oberfläche eines Kegels= Pi mal r zum Quadrat plus Pi mal r mal s Umstellung nach r mit einer quadratischen Ergänzung gesucht. Kann die quadratische Ergänzung noch einmal erklärt werden?
5 Antworten
Erst einmal kannst du Pi ausklammern und beide Seiten durch Pi teilen:
O / Pi = r^2 + r * s
Jetzt suchst du die quadratische Ergänzung zur rechten Seite.
Nach der ersten binomischen Formel ist
(a + b)^2 = a^2 + 2 * a * b + b^2
Wir versuchen, den Term
r^2 + r * s
auf die Form
a^2 + 2 * a * b + b^2
aus der binomischen Formel zu bringen.
Das r^2 ist klar - hier haben wir schon ein a^2.
Jetzt brauchen wir noch das b:
im Term mit r ist noch der Summand
r * s
"übrig", und in der binomischen Formel haben wir folgenden Summanden mit r (das ja das a aus der binomischen Formel ist - r = a):
2 * a * b = 2 * r * b
Diese beiden Terme sollen gleich sein:
r * s = 2 * r * b
Weil wir b suchen, lösen wir nach b auf:
b = s/2
In der umgeformten Originalgleichung haben wir jetzt
O / Pi = r^2 + 2 * r * s/2
In der binomischen Formel haben wir
(r + s/2)^2 = r^2 + 2 * r * s/2 + (s/2)^2
Die rechten Seiten unterscheiden sich um den Summanden
+ (s/2)^2
also müssen wir in der zu lösenden Gleichung diesen Term auf beiden Seiten addieren, um rechts den gleichen Term wie in der binomischen Formel zu haben:
O / Pi + (s/2)^2 = r^2 + 2 * r * s/2 + (s/2)^2
Jetzt können wir auf der rechten Seite die binomische Formel von rückwärts anwenden:
O / Pi + (s/2)^2 = (r + s/2)^2
Jetzt fehlt noch Wurzelziehen und ein paar Kleinigkeiten. (Berücksichtige auch, dass das Quadrieren zwei Umkehrungen hat und du möglicherweise zwei Lösungen bekommst - sind beide Lösungen sinnvoll?)
Hilfreichste Antwort zu der Frage! (Zumindest bisher)Beste Erklärung, Ausdruck, Formalität und Lösung! Danke!
O = pi*r² + pi*s*r II - O
0 = pi*r² + pi*s*r - O II *1/pi
0 = r² + s*r - O/pi II pq-Formel
r (1|2) = -0.5*s +/- (s²/4 + O/pi)^(1/2) II (...)^(1/2) = Quadratwurzel
Also hast du damit 2 mögliche Lösungen:
r(1) = - s/2 + (s²/4 + O/pi)^(1/2)
r(2) = - s/2 - (s²/4 + O/pi)^(1/2)
Stell dir die Oberfläche einfach als eine Funktion in Abhängigkeit von r vor, und einem Parameter s. Also:
O(r) = pi*r² + pi*r*s
f(x) = ax² + bx
Nur mal so als visueller Vergleich.
Quadratische Ergänzung:
d = ax² + bx + c II -d
0 = ax² + bx + (c - d) II a Ausklammern
0 = a*(x² + x*b/a + (c-d)/a)
Nebenrechnung:
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(x + b/(2a))² = x² + 2*(x*(b/(2a)) + b²/(4*a²)
= x² + xb/a + b²/(4*a²)
Das setzen wir nun in unsere Gleichung ein, aber man vergleiche zuvor noch einmal:
x² + xb/a + b²/(4*a²) != x² + x*b/a II != "Ungleich
Auf der linken Seite ist das "+ b²/(4*a²) " zu viel, daher müssen wir dies auf der linken Seite wieder subtrahieren, dann ersetzen wir zuvor aber noch den Ausdruck x² + xb/a + b²/(4*a²) durch den äquivalenten (gleichwertigen) Ausdruck (x + b/2a)² und erhalten damit also:
(x + b/2a)² - b²/(4*a²) = x² + x*b/a
Und das können wir dann nun ja in unsere Ausgangsgleichung einsetzen und erhalten dann ja:
0 = a*(x² + x*b/a + (c-d)/a) II (x + b/2a)² - b²/(4*a²) = x² + x*b/a
Also:
0 = a*((x + b/2a)² - b²/(4*a²) + (c-d)/a)
Jetzt multiplizieren wir dies nun wieder aus und erhalten:
0 = a(x + b/2a)² - b²/(4*a) + (c-d)
Dabei ist "- b²/(4*a) + (c-d)" ein von x (der Variable) unabhängiger Ausdruck, wir wollen ja nach x auflösen, daher folgen nun Schritte um das x "alleine" auf einer Seite stehen zu haben:
0 = a(x + b/2a)² - b²/(4*a) + (c-d) II -(- b²/(4*a) + (c-d))
b²/(4*a) - (c-d) = a(x + b/2a)² II (c-d) = 4a*(c-d)/(4a)
(b² -4a*(c-d))/(4a) = a(x + b/2a)² II *1/a
(b² -4a*(c-d))/(4a²) = (x + b/2a)² II (...)^(1/2) = Quadratwurzel
[(b² -4a*(c-d))/(4a²)]^(1/2) = x + b/(2a)
([b² -4a*(c-d)]^(1/2)) /(2a) = x + b/(2a) II -b/(2a)
([b² -4a*(c-d)]^(1/2) -b) /(2a) = x(1|2)
Und damit hättest du eine Formel zur Berechnung einer Lösung für Gleichungen der Form:
d = ax² + bx + c
Heißt also einfach die Werte einsetzten für a,b,c,d und du erhälst das Ergebnis. Du hättest übrigens an der Stelle:
0 = ax² + bx + (c - d) II a Ausklammern
Du hättest auch einfach anstatt das a Auszuklammern, durch a dividieren können, dann kommst du direkt auf die pq-Formel, wobei du bei der pq-Formel halt immer darauf achten musst, dass vor dem x² eine 1 steht ( 1*x² = x² !!!!), dann wäre das nämlich wie folgt gegangen:
0 = ax² + bx + (c - d) II *1/a
0 = x² bx/a + (c-d)/a
Dann machst du exakt das gleiche wie oben und erhälst:
0 = (x + b/2a)² - b²/(4*a²) + (c-d)/a
Jetzt sagen wir du hättest (c-d)/a ausgerechnet, genauso wie b/a, so sagen wir soll gelten:
(c-d)/a = q und b/a = p
Daraus folgt also:
0 = (x+p/2)² - p²/4 +q
Jetzt wieder nach x Umformen, so dass es alleine auf einer Seite steht:
0 = (x+p/2)² - p²/4 +q II - (- p²/4 +q )
p²/4 - q = (x+p/2)² II (...)^(1/2) = Quadratwurzel
((p/2)² - q)^(1/2) = x + p/2 II -p/2
-p/2 + ((p/2)² - q)^(1/2) = x
Und damit hättest du die pq-Formel in der Form:
x(1|2) = -p/2 +/- ( (p/2)² - q)^(1/2)
Die man auf Gleichungen der Form:
0 = x² + px + q
anwenden kann. Dies bedeutet, sobald eine Gleichung von dieser Form abweicht, so muss diese so umgeformt werden, dass sie diese Form annimmt, wie zum Beispiel bei der allgemeinen quadratischen Gleichung:
0 = ax² + bx + c
So muss wie auch zuvor in der Herleitung hier durch den Vorfaktor vor dem x², also dem a, geteilt werden.
0 = ax² + bx + c II *1/a
0 = x² + (b/a)*x + c/a
In dieser Form kann dann die pq-Formel angewendet werden, hier gilt also für p und q:
p = (b/a) und q = c/a
(Erkennt man durch einfaches vergleichen mit der Ausgangsgleichung:
0 = x² + px + q
0 = x² + (b/a)x + c/a
)
Es ist zwar ein wenig zu lang geworden aber ich sollte an dieser Stelle doch lieber noch einmal verdeutlichen, dass die eigentliche Quadratische Ergänzung nur folgender Schritt ist:
(x + b/2a)² - b²/(4*a²) = x² + x*b/a
Der aus obiger Begründung gilt. Der Rest wie die zuerst allgemein hergeleitete abc-Formel oder die pq-Formel sind Resultate daraus um quadratische Gleichungen auf einfache Art und Weise schnell lösen zu können.
Ich hoffe du konntest der etwas längeren Ausführung mehr oder weniger folgen.
Eine quadratische Ergänzung bedeutet, die drei Terme einer binomischen Regel zu vervollständigen, falls einer fehlt.
a² ± 2ab + b² = (a + b)²
Meistens (z.B. bei der Scheitelpunktberechnung einer quadratischen Parabel) fehlt b². Das sieht in praxi so aus (wobei ich jetzt die q.E. ganz allgemein beschreibe):
x² + 18x = c c ist irgendwas.
Wenn du es mit der Formel vergleichst, ist a = x.
Das heißt, mit x ist dieser Teil in 18x schon abgedeckt.
18 ist dann 2b. So kommt es zu dem Spruch:
Halbieren, Quadrieren!
Du halbierst die 18 und quadrierst sie für den 3. Term
Damit links und rechts im Gleichgewicht bleibt, musst du
denselben Wert (anders geschrieben) rechts addieren.
x² + 18 x + 9² = c + 81
(x + 9)² = c + 81 Anwendung der 1. Binom. Regel (rückwärts)
Das ist quadratische Ergänzung.
Analog, wenn das Mittelglied negativ ist. b² ist aber immer positiv!
Logischerweise, da, wenn eine rationale Zahl quadriert wird, die Vorzeichen positiv ergeben müssen. Danke ebenfalls für die Antwort! Altes Wissen wieder aufgefrischt...
Alles auf eine Seite und dann PQ-Formel.
O = pi • r^2 + pi • r • s || /pi
O/pi = r^2 + r • s || /r
O/(pi•r) = r + s || - s
[O/(pi•r)] = r
Wenn man r nicht hat, kann man es auch nicht einsetzten.