Wie stellt man den Funktionsterm auf?
Wäre gut wenn ihr mir vllt durch das folgende Beispiel das erklären könntet ;)
3 Antworten
Grundsätzlich is die Formel y= m*x+b
bedeutet soviel wie Steigung * der Punkt wo die x-achse getroffen wird+ b is der y-Achsenabschnitt; sprich die Funktion y=m*x+b heißt linear, weil die graphische Darstellung der Punktmenge, die diese gleichung erfüllt, eine gerade Linie ist. wenn auf der rechten Seite noch andere Potenzen von x auftreten würden, wäre die
graphische Darstellung eine krumme Linie.
Leider sind beide Antworten zu diesem Beispiel falsch, da es sich hier nicht um lineare Funktionen handelt, sondern um Exponentialfunktionen.
Eine allgemeine Funktionsgleichung zu Exponentialfunktionen lautet
f(x) = a* b^x+c
Hier gilt für b, b > 0 und b ungleich 1. (Kleiner als Null darf b nicht sein, da wir auch rationale Zahlen für x einsetzen dürfen und bei z.B. 1/2 im Exponenten gilt, dass man die Potenz in diesem Beispiel in die 2. Wurzel von b umwandeln kann. Dies bedeutet, dass für b keine negativen Zahlen eingesetzt werden dürfen. 1 darf b nicht sein, da es sonst eine Konstante wäre, die durch 1 verläuft)
- a wird auch als Streckfaktor bezeichnet.
- Für a<1 wird die Funktion gestaucht
- Für a>1 wird die Funktion gestreckt
- Das bedeutet zugleich, da die einfache Form der Exponentialfunktion g(x)=b^x (hier ist a=1 und c=0) immer durch P(0/1) verläuft, dass a den y-Achsenabschnitt angibt, sofern c=0 ist. (Bsp. i(x)= 2*3^x, i(0)=2)
- c verschiebt die Funktion entlang der y-Achse um |c|, für c>0 nach oben und für c<0 nach unten.
- Dies bedeutet für den y-Achsenabschnitt, dass dieser bei S(0/a+c) liegt.
- Desweiteren ist die Asymptote der Funktion y=c
Jetzt muss man nur noch wissen, dass die Funktion für b<1 an der y-Achse gespiegelt, die Funktion fällt also. Für b>1 steigt sie.
Jetzt muss man nur noch wissen, wie man b herausbekommt. Einfach schauen welchen Funktionswert die Funktion bei x=1 annimmt. Hier muss man dann noch durch a teilen und c abziehen. So erhält man die Basis b.
Mit diesem Wissen können wir sagen, dass bei der roten und schwarzen Funktion, eine Funktion vom Typ g(x)=b^x vorliegt, da diese durch den Punkt P(0/1) verlaufen. Außerdem sieht es so aus als wären beide Asymptoten bei 0. Betrachtet man nun den Verlauf der beiden Funktionen so stellt man fest, dass der Graph der roten Funktion fällt und der Graph der schwarzen Funktion steigt. Dies ist ein Indiz, dass die Basis der roten Funktion b<1 sein muss. Betrachten wir den Funktionswert bei x=1 könnte es ungefähr y=1/4 sein. Unsere Vermutung bestätigt sich. Bei der schwarzen liegt er bei y=1,5. Wir setzen unsere b´s ein und überprüfen mit einer durch einsetzen von Werten ob es passt.
g(x)=1/4^x; Test: r(0,5)=0,5 und r(-0,5)=2 passt
f(x)=1,5^x; Test: s(3)=3,375 und s(-2)=0,4444 passt nicht ganz, könnte aber ungenau gezeichnet sein
h(x) verläuft durch P(0/2,5) und die Asymptote liegt vermutlich bei 0 dass heißt für b, dass wir den Wert an der Stelle x=1, also hier y=3 durch 2,5 teilen müssen und erhalten für b=1,2 -> h(x)=2,5*1,2^x
usw.
Ich hoffe ich habe keinen Denkfehler gemacht (bin etwas müde) und meine Ausführungen helfen.
Grundgleichung eines Funktionsterms ist immer m * x + t
m ist die Steigung (http://www.mathematik-wissen.de/lineare_funktion_steigung.htm) und t ist der y-Achsenabschnitt ( Punkt auf der Gerade, der die Y-Achse schneidet)
Bei der Gerade g wäre es -2 x + 1