Wie soll man sich mehrdimensionale Funktionen wie x^2+y^2? =1 im Koordinatensystem vorstellen und warum kann man manchmal nicht nach Variablen auflösen?
3 Antworten
Hier haben wir zwei Unbekannte. Alle Punkte, die diese Gleichung erfüllen, können in der Ebene gezeichnet werden.
Diese Punkte sind für die angegebene Gleichung gerade die Punkte des Kreises um den Ursprung mit Radius 1. Die Gleichung wird auch Kreisgleichung genannt.
Hallo,
x²+y²=1² sieht doch nach dem Satz des Pythagoras aus. Es sind also alle Punkte, deren Koordinaten den Kathetenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks entsprechen, wobei die Hypotenuse die Länge 1 hat.
Zeichne ein Achsenkreuz. Wähle als eine Längeneinheit 1dm=10cm.
Zahlenpaare, die die obige Gleichung erfüllen, sind z.B.
x=0; y=±1
x=±1; y=0
x=±0,6; y=±0,8
x=±0,8; y=±0,6
Damit hast du 12 Punkte, die du einzeichnen kannst.
Du erkennst jetzt bestimmt, dass die Punkte auf dem Einheitskreis liegen.
Wo findest du nun die rechtwinkligen Dreiecke?
Verbinde den Ursprung mit dem Punkt (0,6|0,8). Fälle von dort das Lot auf die x-Achse. Fertig ist das rechtwinklige Dreieck.
🤓
Du kannst die Funktion nach y Umformen und dann hast du eine Funktion welche eben deinen Graphen beschreibt.
Man kann eigentlich immer zumindest nummerisch nach Variablen auflösen allerdings gibt es Funktionen welche keine analytischen Lösungen erlauben.
Die Funktion x=y*e^y lässt sich zB nicht analytisch nach y umformen. Nummerisch oder mittels Tabellen geht es aber wobei die Lösung die sogenannten W Funktion ist also y=W(x)
Gerade an dem Beispiel sieht man, dass man die Hälfte der Punkte verliert, wenn man umformt, wie du vorschlägst