wie setze ich die Gewinnfunktion gleich 0?
also ich habe die Aufgabe die Gewinnschwelle und Gewinngrenze zu berechnen. E(x) und K(x) sind gegeben. G(x) = 6x - (0,25x³ - 2x² + 7,5x +10). Ausgerechnet ist G(x) = -0,25x³ + 2x² - 1,5x -10... wie setze ich das Ergebnis jetzt = 0 um es dann in die Polynomen Division zu bringen?
3 Antworten
-0.25x^3 + 2x^2 - 1.5x -10=0 | * (-4) bzw : -0.25
x^3 - 8 x^2 + 6 x + 40=0
Wenn du sonst keine Hinweise hast, musst du jetzt alle Teiler von 40 ausprobieren, also 1, -1, 2, -2, 4, -4, 5, -5, 8, -8, 10, -10, 20, -20, 40, -40
Wenn du dabei keine Nullstelle findest, gibts du als Schüler normalerweise auf. Als Ingenieur o.ä. hättest du die Nullstelle(n) gleich von einem Computer oder besseren Taschenrechner ermitteln lassen.
Hinweis: Die einzige ganzzahlige Nullstelle ist 4.
Dann machst du mit Polynomdivison weiter.
Bei einer neuen Aufgabe? Oder bei dieser? Nach der Polynomdivision hast du nur noch eine Funktion 2.Grades, die solltest du können. Da gibt es eine positive und eine negative Nullstelle. Die positive ist die Gewinngrenze.
Du hast in deiner Gewinnfunktion ein konstantes Glied, nämlich 40. Deshalb kann man x nicht ausklammern, was die Sache natürlich erleichtern würde. Durch Probieren mit den Teilern von 40 ermittelt man, wann x^3 – 8 x^2 +6 x den Wert 40 liefert. Das ist bei der 4 der Fall, der ersten Nullstelle und zugleich der Gewinnschwelle. Wir bilden mit 4 einen Linearfaktor, durch den G teilbar ist. Er lautet (x – 4). Nun führen wir die Polynomdivision durch, um die erste Nullstelle heraus zu dividieren:
x^3 – 8 x^2 + 6 x + 40 : (x – 4) = x^2 – 4 x – 10
– ( x^3 – 4 x^2 )
– 4 x^2 + 6 x + 40
– ( – 4 x^2 + 16 x)
– 10 x + 40
– ( – 10 x + 40)
– –
Du musst bei der Polynomdivision einen Wert annehmen, in diesem Fall x^2, der durch Multiplikation mit dem Divisor (x-4) den ersten Wert von G, hier also x^3 ergibt. Insgesamt kommt heraus: x^3 - 4 x^2. Die Ergebnisse dieser Rückwärtsmultiplikationen sind von G abzuziehen, bis nichts mehr übrig bleibt. Zum Schluss gilt: x^3 - 8 x^2 + 6 x + 40 = x^2 - 4 x - 10 * (x-4)
Die so ermittelte quadratische Funktion kannst du mit der pq-Formel oder mit einer quadratischen Ergänzung auflösen:
-
1. Nullstelle: 2 + Wurzel aus 14 (das ist die Gewinngrenze)
2. Nullstelle: 2 – Wurzel aus 14 (der Wert ist negativ und nicht relevant)
Sollte das Lösen einer quadratischen Gleichung Probleme bereiten, hilft eventuell dieser Link:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/9/quadratischegleichungen.htm
Setz es gleich null und bring die zehn rüber. Dann kannst du ausklammern, pq formel etc. Für die Division brauchst du bereits eine Nullstelle
Das probiere ich doch gleich mal aus (hast du vermutlich nicht):
-0.25 x^3 + 2 x^2 - 1.5 x -10=0 | 10 rüberbringen
-0.25 x^3 + 2 x^2 - 1.5 x = 10 | * (-4)
x^3 - 8 x^2 + 6 x = -40 | ausklammern
x(x^2 - 8 x + 6) = -40
So, und jetzt geht's nicht weiter!
Das funktioniert leider nicht. Ausklammern macht man nur, wenn man rechts Null stehen hat. Denn dann kann man den "Satz vom Nullprodukt" anwenden, weil man weiß, dass ein Produkt nur dann Null ist, wenn mindestens ein Faktor Null ist.
Es gibt aber keinen Satz vom 40-Produkt. Die beiden Faktoren können alles mögliche sein: 4*10, 5*8, aber auch wurzel(2)*wurzel(800)
Leider hilft bei Nullstellen von kubischen Funktionen nur das Raten einer Nullstelle mit anschließender Polynomdivision. Die Lösung mittels der Cardano-Formeln ist für die Schule zu kompliziert.
Aber inzwischen gibt es auch schon Taschenrechner für rund 20 EUR, die solche Nullstellen selbstständig bestimmen können. Ich würde vermuten, die Tage der Polynomdivision in der Schule sind gezählt.
vielen Dank;) jetzt bin ich bei der nächsten Nullstelle angelangt die ich nicht rausbekomme haha :)