Wie rechne ich den Neigungswinkel zu einer Kante aus?
Ich schreibe bald eine Matheklausur und habe folgende Aufgabe zum üben bekommen. Leider verstehe ich die Aufgabe nicht ganz.
Aufgabe:
Die Rasenpyramide im Kölner Pyramidenpark hat eine Höhe von 8 Metern und eine quadratische Grundfläche mit Seitenlängen von ca. 45 Metern.
a) Wählen Sie ein geeignetes Koordinatensystem und berechnen Sie den Neigungswinkel einer Kante zur Diagonalen am Boden.
b) Berechnen Sie, wie viel Erde (in m^3) notwendig war, um die Rasenpyramide aufzuschütten.
3 Antworten
Die Pyramide hat die Eckpunkte
A(0/0/0)
B(45/0/0)
C(45/45/0)
D(0/45/0)
S(22,5/22,5/8)
Der Neigungswinkel entspricht dem Winkel vom Vektor (22,5/22,5/0) zum Vektor (22,5/22,5/8).
Winkel zwischen zwei Vektoren - FormelVorgehensweise
- Skalarprodukt berechnen
- Längen der Vektoren berechnen
- Zwischenergebnisse in die Formel einsetzen
- Formel nach φ auflösen
Die Formel findest du hier: https://www.mathebibel.de/winkel-zwischen-zwei-vektoren
a) ha = √(h2 + (a/2)2)
b) V = 1/3·a2·h
Hallo Vexsync
Wenn die Aufgabe mithilfe der Vektorrechnung gelöst werden soll, siehe Antwort von Bordori.
Man kann sie aber auch "einfach" lösen: Die quadratische Grundfläche der Pyramide sei durch die Punkte A, B, C, D festgelegt, wobei der Abstand zwischen zwei benachbarten Punkten, z.B. AB gleich der Seitenlänge a = 45m ist. Der Mittelpunkt der Grundfläche sei M. Die Spitze der Pyramide (8 m über M) sei S.
Dann ist die Diagonale d der Grundfläche , z.B. AC, gleich a*W(2) (W( ) steht für Wurzel aus). Die halbe Diagonale, z.B. AM, ist damit d/2 = (a/2)*W(2). Die Höhe MS ist h = 8m.
Der Neigungswinkel phi einer Kante, z.B. AS, zur Diagonalen am Boden (AC bzw. AM) ergibt sich dann aus dem Dreieck AMS wie folgt:
tan(phi) = MS/AM = h/((a/2)W(2)) = 8m/((45m/2)W(2)) = 0,251; phi = 14,113°.
Das Volumen ist V = (1/3)a²*h = (1/3)45²*8 m³ = 5400 m³.
Es grüßt HEWKLDOe.