wie macht man hier weiter?

(ii) Es sei g : C → C analytisch mit g(z) = (z − 1)² für |z| = 2. Berechnen Sie den Wert g′′(1).

ich weiß nicht wie ich weitermachen soll. Mir wurde der Residuensatz empfohlen, hab aber keine Ahnung wie ich es damit lösen soll.

Answer 1

[mihisu]

Ich weiß nicht, warum du da so kompliziert rechnen möchtest.

Die Gleichung g(z) = (z - 1)² gilt nicht nur für |z| = 2 sondern lässt sich dann nach Identitätssatz auf ganz ℂ ausweiten. D.h. es gilt g(z) = (z - 1)² für alle z ∈ ℂ.

Dementsprechend erhält man dann...

$\forall z\in \mathbb{C} :\quad g(z)=\left(z-1\right)^2$

$\rightarrow\quad \forall z\in \mathbb{C} :\quad g'(z)=2\cdot \left(z-1\right)$

$\rightarrow\quad \forall z\in\mathbb{C}:\quad g''(z)=2$

$\rightarrow\quad g''(1)=2$

Dass g''(1) = 2 ist, hast du doch auch bereits bei dir im Bild stehen. Ich verstehe nun dein Problem nicht.

Answer 2

[eterneladam]

Trotz der (korrekten) Antwort von mihisu hier noch die Vervollständigung deines Ansatzes. Das Integral am Ende deiner Berechnungen ist nach dem Residuensatz gerade 2 Pi i, alles ausser der 2 kürzt sich weg.