Wie löse ich die Aufgabe a und b?
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
hier handelt es sich um exponentielles Wachstum. Finde eine Funktion k(t), die die Konzenztation k in Abhängigkeit von t (in Stunden) beschreibt. Hinweis:
k(t) = a^t
Nach einer halben Stunde hast Du
0,9 0 a^(1/2)
Damit kannst Du a berechnen. Jetzt hast Du eine Formel, diie das exponentielle Wachstum beschreibt. Dies nutzt Du, um die Aufgaben a) und b) zu lösen.
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Hier geht es um exponentielles Wachstum (exponentielle Abnahme), d. h. Du benötigst eine Exponentialfunktion.
Diese sieht allgemein so aus: f(t)=a * q^(kt).
Das a ist der Anfangswert (bei t=0), das q ist der Wachstumsfaktor, das t die Zeit und das k ist ein Parameter, der die "Aktivierung" des Wachstums steuert, d. h. das k muss so gewählt werden, dass zu dem Zeitpunkt, an dem das erste Mal die vorgegebene Änderung eintritt, der Exponent den Wert 1 ergibt.
Hier ist kein konkreter Startwert gegeben, d. h. Du setzt allgemein a=100 %=1 an. Der Startwert soll nach bestimmter Zeit (hier halbstündlich) um 10 % abnehmen, d. h. nach einer halben Stunde sind nur noch 90 %=0,9 vom Startwert vorhanden, also q=0,9. Das t steht hier sinnvollerweise für "Stunden". Und da nach einer halben Stunde der Startwert auf 90 % sinkt, muss für das k der Wert 2 gewählt werden, denn k*t, also hier k*0,5 muss ja wie zuvor erwähnt den Wert 1 ergeben.
Also lautet hier Deine Exponentialfunktion:
f(t)=1*0,9^(2t)=0,9^(2t)
Bei a) ist gefragt, wann vom Startwert nur noch die Hälfte vorhanden ist, also nach f(t)=0,5:
0,9^(2t)=0,5 |ln anwenden
ln(0,9^(2t))=ln(0,5) |Regel: ln(a^b)=b*ln(a)
2t*ln(0,9)=ln(0,5) |:(2*ln(0,9))
t=ln(0,5)/(2*ln(0,9))=...
b) hier ist nach f(t)<0,001 gefragt; dabei darauf achten, dass wenn ln(x) negativ ist für x<1, d. h. dann musst das Ungleichheitszeichen "drehen"!
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t in Stunden
eine Abnahme um 10% ist ein Wachstumsfaktor von 0,9
der Wachstumsfaktor kann auch umgerechnet werden
a) f(t)=1/2 f(0)
b) f(t)=0,1/100 f(0)
f(t) jeweils durch den Ausdruck ersetzen, dann kann f(0) gekürzt werden. Die Zeit ist also nicht von der Ausgangsmenge abhängig