Wie leitet man die Formel für die Seitenkante eine quadratischen Pyramide her?
Das angehängte Bild ist eine der Formeln, um die Seitenkante s einer quadratischen Pyramide zu berechnen? Wie leitet man diese jedoch her? Satz des Pythagoras, klar, aber wieso dann a/4 und nicht a/2?
2 Antworten
Naja, Pythagoras über die Höhe und die halbe Diagonale. Die Diagonale ist aber gerade Wurzel aus 2a². Die Hälfte davon ist 1/2 (2a²)^(1/2), und das wieder quadriert (für den zweiten Pythagoras) ist eben 1/2 a². Das Viertel erschließt sich mir leider nicht. :D
EDIT: Ah, doch. Das wäre dann die Höhe der Seitendreiecke.
Und wenn h_a nicht die Höhe der Pyramide (sondern des Seitendreiecks) bezeichnet, dann ist die Rechnung noch einfacher (Antwort von daCypher) und man kommt auf 1/4 a². ;-))
Am Bild wirds klar: http://www.matheretter.de/formeln/geometrie/pyramide/formeln.png
Kurz vorweg: a²/4 ist das Gleiche wie (a/2)². Man könnte die Formel also auch so schreiben: √(ha² + (a/2)²)
Und das ist im Prinzip nichts anderes, als der Satz des Pythagoras. Du teilst die Grundkante durch zwei, damit du ein rechtwinkliges Dreieck hast. Die Katheten sind also ha und (a/2). Also kannst du ha² + (a/2)² = s² rechnen, oder eben mit der Wurzel s = √(ha² + (a/2)²). Wenn du die Klammer in der Wurzel wieder auflöst, bist du wieder bei √(ha² + a²/4)
Das ist dann aber die Höhe eines Seitendreicks und nicht die Kantenlänge s!!!
Nein, die Höhe des Seitendreiecks ist ha. Die Kantenlänge ist s und die Grundkante ist a.
Das ganze lässt sich aber auch benutzen, um aus der Höhe der Pyramide die Höhe der Seitenfläche zu berechnen. Dann wärs
ha = √(h² + a²/4)
Stimmt, hab nciht beachter, dass da ha und nicht h steht...
Was mir aber in dem Zuge grade auffällt: Wenn man √(h² + a²/2) rechnet, kommt man direkt von der Höhe der Pyramide zur Kantenlänge :)
Danke, das habe ich gesucht!