Wie lautet ein Term der Funktionen deren Graph genau zwei Extrempunkte hat?
2 Antworten
Man kann sich so eine Funktion recht leicht konstuieren, wenn das Integrieren bekannt ist ("ableiten rückwärts").
Beispiel: Extrempunkte bei x=1 und -1 bedeutet, die Ableitung muss dort 0 sein, also:
(x-1)(x+1)=0 <=> x²-1=0, d. h. f'(x)=x²-1
Diese Ableitung jetzt integrieren, ergibt als Funktionsterm: f(x)=1/3x³-x [+C]. Diese Funktion (egal welche Konstante hinten noch dranhängt) hat bei x=1 und x=-1 ihre einzigen Extremstellen.
Damit überhaupt 2 Extremstellen exisitieren können, muss es mindestens eine Funktion dritten Grades (oder eines höheren ungeraden Grades) sein. Das heißt aber nicht, dass jede Funktion 3. Grades auch 2 Extremstellen hat. Sie kann auch keine haben, dann hat sie nur eine Wendestelle (eine Extremstelle ist unmöglich).
Mindestens 3. Grad
und noch ein Term dabei.
Soll es irgendeine sein, dann z.B.
f(x) = x³ + x²
Die Punkte dürfen ja nicht zusammenfallen.
Bei x³ entsteht nur ein Sattelpunkt.
Wenn der Grad > 3 ist und der Funktionsverlauf normal, gibt es schon 3 Extrempunkte.
Durch das +x² entstehen die "Buckel" in der Funktion.
+x reicht nicht.
Würde nur x^3 also nicht gehen, oder x^5? Danke nebenbei:)
x³, x^5, x^7 usw. hätten jeweils einen Sattelpunkt, sonst nichts. Die würden also alle nicht gehen
ohne irgendetwas dabei.
Also mit Potenzen ungerade Zahl oder? Wie lässt sixh das begründen?