Wie lautet der Konvergenzradius folgender komplexen Reihe?

$\sum_{n=1}^{\inf}\ln\left(n\right)z^n$

Answer 1

[Maendie]

Wie lautet der Konvergenzradius folgender komplexen Reihe?

Durch abschätzung nach oben und unten kann man auf 1 kommen, wenn ich nichts überseh

Comments

[Maendie]

Ok, kannst du diese kurz darstellen, komm grad irgendwie nicht weiter, also dann mit Wurzelkriterium?

[Maendie]

@Inkognito-Beitragsersteller

Ich nehm mal an, dass du die Formel für den konvergenzradius kennst. Aufgrumnd der monotonie der verketeten funktion kannst du die x.Wurzel von ln(x) mit der x.Wurzel von x und 1 abschätzen.

Answer 2

[Rammstein53]

Konvergenzradius

$r\ =\ \lim\ n\ ->\ ∞\ \frac{1}{\sqrt[n]{a\left(n\right)}}$

$\sqrt[n]{a\left(n\right)}\ =\ \sqrt[n]{\ln\left(n\right)}\ =\ e^{\frac{1}{n\cdot}\cdot\ln\left(\ln\left(n\right)\right)}\ -->\ e^0\ =\ 1$

n wächst schneller als ln(n), und noch schneller als ln(ln(n)).

Deshalb konvergiert 1/n * ln(ln(n)) gegen 0.

Daraus folgt der Grenzwert r = 1

Comments

[Rammstein53]

Reicht dies aus, sollte keine Abschätzung o.Ä. stattfinden?

[Rammstein53]

@Inkognito-Beitragsersteller

Habe meine Antwort ergänzt.

@Rammstein53

D.h. dies ist bereits ausreichend? ohne Abschätzen?

[Rammstein53]

@Inkognito-Beitragsersteller

Siehe weiteren Hinweis in meiner Antwort.