Wie könnte man die Länge dieser Schleife berechnen?
2 Antworten
Hallo.
Für mich sieht es so aus, dass die Schleife rein auf dem Zylinder sitzt.
Wenn sich meine grauen Zellen korrekt erinnern, dann ist ein Zylinder ausgerollt ein Rechteck und damit wäre die Schleife nichts anderes als die beiden Diagonalen des Rechtecks.
Und wie berechnet man die Diagonale eines Rechtecks? 😉
Die Maße des Zylinders basieren auf dem Kreis. Er hat einen Durchmesser des halben Kreisdurchmessers, entspricht also dem Kreisradius. Die Länge der Rechtecks entspricht dem Umfang des Zylinders. Und die Höhe entspricht dem Durchmesser des Kreises.
Zumindest würde ich das Bild so interpretieren.
wie sollte die Kugel/Ellipsoid hier einen Einfluß haben . Zylinder bleibt doch so
Der Zylinder ist immer so in die Kugel einbeschrieben das ein Punkt auf den Deckflächen jeweils am "Nord-" und "Südpol" liegt und ein Punkt quasi am "Äquator", wenn ich jetzt einen Ellipsoid habe ich eine kleinere Deckfläche im Verhältnis zur Mantelfläche das mein ich
Also ich kann mir gerade nicht vorstellen das das wirklich zwei gerade Linien bzw. Diagonalen im ausgerollten Zylinder als Ebene Fläche sind, sich das der Kreis die so schneidet muss ich mal zusammenbasteln und überprüfen
Dafür kannst du einfach eine leere Toilettenpapierrolle nehmen und mit Edding oder so die Schleife nachmalen.
Einfacher ist es, wenn du das Papröllchen erst der Höhe nach aufschneidest, die beiden Diagonalen einzeichnest und dann wieder zusammenrollst.
Standardmethode: Finde eine Parameterdarstellung x(t) und integriere über die Länge ihres Richtungsvektors:
Mit Kugelmittelpunkt als Ursprung und Zylinderradius = 1 komme ich von
- Kugel: x²+y²+z² = 4
- Zylinder: (x−1)²+y² = 1
auf z = 2t , x = 2(1−t²), y² = 4t²(t²−1). Es reicht, das Viertel der Kurve von der Kreuzung (2, 0, 0) bis zum Nordpol (0, 0, 2) zu berechnen (also 0≤t≤1). Die Ableitungen sind:
- x'=-4t,
- y'=2√(t²−1) + 4t²/√(t²−1),
- z'=2.
|| x'²+y'²+z'² || = 6t
Ein Viertel der Bogenlänge wäre damit ∫₀¹ 6t dt = 3.
Das sieht plausibel aus (Luftlinie wäre √8≈2,8). Rechne aber zur Sicherheit nochmal nach.
ich glaube nicht , dass den FS eine echte Rechnung interessiert
Er will wachsen in seinem Wissen !
Da muss was faul sein, denn der direkte Weg vom Äquator zum Nordpol hat schon die Länge π. Der Bogen muss länger sein. Sorry!
Fehler gefunden: y² = 4t²(1−t²). Damit ist || x'²+y'²+z'² || = 2√[ −t² + 2/(1–t²) ]. Das macht das Integrieren wie erwartet hässlich. WolframAlpha sagt 4,30061.
Aber ich gebe immer noch keine Gewähr darauf.
Himmelarschundzwirn, beim Betrag fehlen Klammern:
|| x'²+y'²+z'² || = 2√[ (2−t²)/(1–t²) ]
Jetzt passt es, aber die ganze Rechnung war unnötig, weil WolframAlpha beim 3D-Plot die Bogenlänge automatisch mitberechnet: 3,82.
Die ganze Schleife hat also auf einem Zylinder mit Radius 1 die Länge 15,28.
Ist halt die Frage was wäre zum Beispiel wenn dass statt einer Kugel ein Ellipsoid wäre, wären es dann auch die zwei Diagonalen eigentlich schon weil sich der Zylinder ja auch mit ändert