wie kann man einen Term für eine Figurenfolge finden?

ich hab etwas schweirigkeiten damit und wäre froh eine möglichst einfache erklärung hier zu finden?

Comments

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Welche Figurenfolge? Könntest Du sie ergänzen?

[jondercoole]

so wie: figur 1 hat 4 würfel & figur 2 hat 10 würfel & figur 3 hat 21 würfel. finde den term für diese figurenfolge.

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Es geht also nicht um eine konkrete Aufgabe, sondern um Tipps im Allgemeinen.

Häufig handelt es sich bei dem Term um ein Polynom.

Grad | Beispielfolge
-----------------------
   0 | 1, 1, 1,  1, ...
   1 | 4, 6, 8, 10, ...
   2 | 2, 4, 7, 11, ...

In dem Fall kommt man bei wiederholter Differenzenbildung schließlich auf eine konstante Folge.

• Bei Grad 0 haben wir bereits eine konstante Folge. Da besteht der Term nur aus einer Zahl.
• Bei Grad 1 ist die Folge der Differenzen eine konstante Folge. Wenn die Folge 4, 6, 8, 10, ... ist, wäre die Folge der Differenzen 2, 2, 2, 2, ... Bei Figurenfolgen kann man das daran erkennen, das zu einer bestehenden Figur immer das Gleiche hinzukommt. Wenn für n = 0 die Figur aus b Stücken besteht und immer a Stücke dazukommen, lautet der Term an + b. Wenn bei der ersten Figur n = 1 statt n = 0 sein soll, muss man nochmal a vom Term abziehen. Also bei 4, 6, 8, 10, ... wäre b = 2, weil immer 2 dazukommen, und wenn für n = 1 die Figur aus 4 Stücken besteht, würde sie für n = 0 aus b = 2 Stücken bestehen. Also wäre der Term 2n + 2.
• Bei Grad 2 muss aus der Differenzenfolge nochmal die Differenzenfolge bestimmt werden. Bei 2, 4, 7, 11, ... wäre die Differenzenfolge 2, 3, 4, 5, ... und davon 1, 1, 1, 1, ... Bei einer Figurenfolge würde die Anzahl der Stücke, die in jedem Schritt dazu kommen, linear steigen. Also in dem Beispiel würden zunächst 2 Stücke, dann 3 Stücke, dann 4 Stücke usw. dazu kommen. Einen Term hier zu finden ist schon schwieriger. Die Kenntnis von Quadrat- und Dreieckszahlen ist da hilfreich. Vielleicht kennst Du die Gaußsche Summenformel für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen. Die Summe ist n(n+1)/2. Wenn man von n = 0 ausgeht, ist es wieder einfacher. In meinem Beispiel würde dann die Differenzenfolge nicht mit 2 sondern mit 1 beginnen und die ursprüngliche Folge ebenfalls mit 1.

n   | 0, 1, 2, 3,  4, ...
A(n)| 1, 2, 4, 7, 11, ...

Der konstante Teil des Polynoms wäre hier 1, da man genau ein Stück für n = 0 hat. Im n-ten Schritt kommen dann immer n-Stücke dazu, also braucht man hier die Summenformel der Term wäre dann 1 + n(n+1)/2.

Im allgemeinen Fall, wenn man c Stücke für n = 0 hat und im n-ten Schritt an + b Stücke dazu kommen ist der Term für die Anzahl der Stücke nach dem n-ten Schritt $A(n) = a\cdot \frac{n(n+1)}{2} + b \cdot n + c$

Oft kann man anhand der Figur auf eine leichtere Weise auf einen Term kommen, z.B. bei 0, 1, 4, 9, 16, ... wäre A(n) = n², also wenn die Figur immer ein Quadrat von Stücken wäre. Wenn man das nicht sieht, würde man zunächst auf die Differenzenfolge 1, 3, 5, 7, ... kommen und dann, dass bei der ursprünglichen Folge immer 2n - 1 Stücke dazu kommen. Mit der obigen Formel mit a = 2, b = -1, c = 0 würde man auf dasselbe Ergebnis kommen.

Etwas anspruchsvoller wären z.B. Fibonacci-Folgen, wo der Term dann exponentiell wäre. Ich gehe davon aus, dass solche anspruchsvollen Aufgaben aber nicht gemeint sind, wie man da auf den Term kommt, sondern dass es um maximal quadratische Terme geht. Ansonsten frag gerne nochmal nach oder auch sonst wenn etwas unklar ist.