Ich muss i in der exponentialform aufstellen aber tan^-1(1/0) geht nicht

Wie kann man durch 0 dividieren bei den komplexen zahlen? (Mathematik, rechnen, komplexe Zahlen)

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

08.04.2016, 15:52

Division durch 0 geht in einer "vernünftigen" Zahlenmenge nie. Das liegt nicht etwa daran, dass dabei etwas Unendliches herauskäme. Mit Unendlichkeiten verschiedener Art kann die Mathematik mittlerweile sehr gut umgehen.

Es ist die mangelnde Eindeutigkeit, die auch dazu führt, dass man mit Hilfe des Teilens durch 0 Unsinn beweisen könnte. Wenn man das geschickt macht wie in einem Beispiel aus dem Buch Warum Mathematik glücklich macht von Christian Hesse, merkt man das nicht einmal, man teilt durch einen Ausdruck, der nach Voraussetzung gleich 0 ist, dem man es aber nicht direkt ansieht, und beweist 1=2.

Dividieren bedeutet Multiplizieren mit dem Kehrwert. Die Definition funzt in den Natürlichen Zahlen natürlich nicht, weil nur 1 eine Natürliche Zahl als Kehrwert hat, aber die sind ja in die Rationalen Zahlen eingebettet und die wieder in die Reellen, und da gibt es für alles Kehrwerte, außer für 0.
Letzteres liegt daran, das die 0 der große "Plattmacher" ist: Egal, womit ich 0 multipliziere, es kommt immer 0 dabei heraus.

Auch ∞ als "Kehrwert von 0" - so wird das gelegentlich im Rahmen der oben erwähnten Erweiterten Reellen Zahlen formuliert - funzt nicht wirklich gut. Je nachdem, wie man die definiert, hätte 0 zumindest schon mal 2 "Kehrwerte", weil +0 = -0 ist. Nicht, dass oben genannte Probleme damit beseitigt wären.

Auch der Arcus Tangens ("tan^-1" missfällt mir, weil es als "1/tan(Winkel)" missverstanden werden kann) hat für x=0 zwei Möglichkeiten, nämlich 90° oder 270° bzw -90° respektive 𝜋/2 oder 3𝜋/2 bzw. -𝜋/2.

Den Fall muss man gesondert behandeln. Wenn x=0 ist, weißt Du, dass es der Winkel einen dieser Werte haben musst, und +i ist als exp(+𝜋/2*i𝜑) mit dem Polarwinkel 𝜑 definiert, -i als exp(-𝜋/2*i𝜑)=exp(3𝜋/2*i𝜑). Das kannst du auch durch Grenzwertbetrachtungen herausfinden.