wie kann man des sinus/cosinus von einem winkel wie 30°, 45°, 60° usw. graphisch darstellen und ablesen?

Hallo,

ich habe Dir eine Konstruktionszeichnung zum Sinus von 30° im Einheitskreis hochgeladen, an welcher Du den Wert leicht erkennen kannst.

Wenn Du das Dreieck, das entseht, wenn Du im Einheitskreis einen Winkel von 30° abträgst, an der waagerechten Achse spiegelst, erhältst Du ein gleichseitiges Dreieck, dessen Winkel jeder 60° hat. (Das haben gleichseitige Dreiecke so an sich). Zwei der Seiten dieses Dreiecks entspricht dem Radius des Einheitskreis, also 1. Weil das Dreieck gleichseitig ist, hat auch die dritte Seite die Länge 1. Da sich diese Seite aus einer Spiegelung ergeben hat, sie also die verdoppelte Seite des ursprünglichen Dreiecks mit einem 30°-Winkel darstellt, muß die Seite, die dem 30°-Winkel gegenüberliegt, die Länge 1/2 haben. Da es sich bei ihr um die Gegenkathete handelt und die Länge der Gegenkathete im Einheitskreis dem dazugehörigen Sinus entspricht, ist der Sinus von 30° gleich 1/2 oder 0,5.

Der Kosinus von 30° entspricht der Länge der Ankathete. Sie läßt sich aus dem Satz des Pythagoras herleiten und ist die Wurzel aus 1²-(1/2)², also die Wurzel aus 3/4. Die Viertel kannst Du unter der Wurzel hervorziehen und in Form von 1/2 als Faktor vor die Wurzel stellen. So bekommst Du als Wert für den Kosinus von 30° 1/2*√3=0,866.

Dies wäre gleichzeitig der Sinus von 60°. Denn der Ankathete des Winkels von 30° liegt der Winkel von 60° in diesem Dreieck gegenüber. Daß dieser Winkel 60° haben muß, ergibt sich aus dem Innenwinkelsummensatz. Bekanntlich ist die Summe der Innenwinkel eines ebenen Dreiecks gleich 180°. Das Dreieck ist rechtwinklig, besitzt also einen 90°-Winkel, bleiben noch 90° übrig. Davon ziehen wir den gegebenen 30°-Winkel ab; so bleibt für den dritten Winkel noch 60° übrig.

Die Ankathete vom 30°-Winkel ist die Gegenkathete vom 60°-Winkel. Die Länge der Gegenkathete ist im Einheitskreis gleich dem Sinus, weil die Länge der Hypotenuse immer gleich 1 ist und eine Division durch 1 nichts verändert. Somit ist der Sinus von 60° gleich 0,866. Der Kosinus von 60° entspricht dem Sinus von 30°, ist also 1/2 oder 0,5. Wie gesagt, entsprechen im Einheitskreis die Längen der Katheten dem Sinus, bzw. Kosinus. Da die Summe der Quadrate über den Katheten das Quadrat der Hypotenuse ergibt und das Quadrat von 1 gleich 1 ist, wissen wir nun auch, daß sich die Summe der Quadrate von Sinus und Kosinus desselben Winkels immer zu 1 ergänzen. Tatsächlich ist 0,866²+0,5²=1. Wenn Du dieses Ergebnis auch im Taschenrechner angezeigt haben möchtest, darfst Du natürlich nicht den gerundeten Wert 0,866 verwenden, sondern den genaueren Wert für den Kosinus von 30°, nämlich 0,8660254038. Damit klappt's.

Für den Hausgebrauch ist 0,866 aber genau genug.

Sinus und Kosinus für 45° kannst Du Dir entsprechend herleiten, wenn Du Dir klarmachst, daß ein rechtwinkliges Dreieck mit zwei 45°-Winkeln ein gleichschenkliges ist und somit gilt 2a²=1, also a²=1/2, also a=√(1/2).

In diesem Fall sind Sinus und Kosinus gleich, denn die beiden Katheten sind auch gleich.

Herzliche Grüße,

Willy

Wenn du dir den Winkel in einem Dreieck mit dem Einheitskreis 100 oder 1000 mm anträgst, dann kannst du Sin & Cos abmessen.

musst halt mit gradmaß ausrechnen, dann kommt eine zahl mit pi raus und dann schaust du wie der graph verläuft