Wie kann ich das hier bestimmen?
Hallo:)
Also meine Frage wäre, wie ich hier in dieser Aufgabe anhand einer Grafik den Erwartungswert und die Standardabweichung berechnen kann.
Außerdem was bedeuten die 97% oder 50% oder 3%?
Meine Idee wäre erstmal für die 6 Monate den Erwartungswert so zu berechnen 2+6=8 8/2=4 und die Größe für 4 ist ungefähr 58,3 cm., aber für die Standardabweichung hab ich wieder keine Ahnung wie ich das berechnen soll.
Danke im Voraus für jede Hilfe. :)
Dada
Das ist die Aufgabe.
1 Antwort
In der Abbildung soll die Groessenverteilung von Kleinkindern in Abhaengigkeit vom Alter dargestellt werden. Damit Du die Abbildung verstehen kannst, erklaere ich Dir, wie sie zustande kommt:
Messbeispiel: Fuer ein festes Alter misst man die Koerpergroesse vieler Kleinkinder und traegt sie in ein Histogramm ein. Es koennte also z.B. sein, dass von 89000 untersuchten Kindern im Alter von 6 Monaten 16552 Kinder eine Koerpergroesse zwischen 66 und 67 cm hatten, waehrend nur 10677 Kinder zwischen 68 und 69 cm gross waren (die Zahlenwerte hab ich mir ausgedacht).
Man koennte also sagen, dass die Wahrscheinlichkeit fuer eine Groesse zwischen 66 und 67 cm bei 16552/89000 = 18,6% liegt, waehrend die Wahrscheinlichkeit fuer eine Groesse zwischen 68 und 69 cm bei 10677/89000 = 12,0% liegt.
Histogramm und Verteilung: So verfaehrt man nun fuer alle auftretenden Groessenbereiche (vielleicht auch mit einer feineren Einteilung als in ganze cm). Man erhaelt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ueber den moeglichen Koerpergroessen. Diese koennte z.B. so aussehen:
Bezug zu Deinem Diagramm: Bei der Messung koennte also z.B. herauskommen, dass 50% der Kinder kleiner sind als 66,5 cm (Wert der mittleren Kurve in Deinem Diagramm) und dass 97% der Kinder kleiner sind als 70,5 cm (Wert der oberen Kurve in Deinem Diagramm).
Normalverteilung: Es liegt nun nahe, die Koerpergroessen der einzelnen Kinder als voneinander unabhaengig zu betrachten. Man wuerde die Messergebnisse daher durch eine Normalverteilung modellieren:
Die Normalverteilung ist durch zwei Parameter charakterisiert, naemlich durch den Erwartungswert und die Standardabweichung. Der Erwartungswert liegt bei der durchschnittlichen Groesse, d.h. bei der 50%-Marke.
Die Standardabweichung ergibt sich aus dem Abstand zwischen 50%- und 97%-Marke etwa durch Multiplikation mit 0,5317; warum das so ist, ist gar nicht so leicht nachzurechnen. Wenn es Dich interessiert, kannst Du gerne nochmals nachfragen. In jedem Falle kannst Du anhand des Schaubilds oben aber sehen, dass die Normalverteilung mit den so berechneten Parametern gut zu den (ausgedachten) Messergebnissen passt.
Ja, bei der Normalverteilung liegt der Erwartungswert bei der 50%-Marke. Etwa 50% der Kinder sind kleiner als der Erwartungswert und 50% sind groesser.
Bei der Normalverteilung ist die Standardabweichung das 0.5317-fache des Abstands zwischen 50%- und 97%-Marke. Also in diesem Beispiel eben 0.5317 * (70.5cm - 66.5cm). Diese Konstante kann man mithilfe der Integralrechnung bestimmen, vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung.
Wenn die p-Marke (also hier p=0.97) um Δx (also hier Δx=4cm) vom Erwartungswert entfernt liegen soll, so muss die Standardabweichung
σ = 1 / ( wurzel(2) * erf^-1(2p-1) ) * Δx
sein. Dabei bezeichnet erf^-1 die inverse Error-Funktion (vgl. https://en.wikipedia.org/wiki/Error_function#Inverse_functions). In diesem Fall ist der Vorfaktor eben 0.5317.
Sehr gut danke! :) Tatsächlich sehe ich jetzt die Grafik mit einem anderem Blickwinkel, dank Ihrer Hilfe! :)
Um sicher zu gehen für 12 Monate: Erwartungswert wäre 50% sind kleiner 75 cm und 97% kleiner 79.5 cm und 3% kleiner 70.5 ?
Dabei ist die Standardabweichung 0.5317* Delta x also 0.5317* 4.5 ?
Und meine Frage ist, also das mit der erf^-1 hatten wir nicht und bin mir nicht sicher, ob wir das überhaupt machen, weil das scheint mit bisschen kompliziert zu sein, aber bleibt die 0.5317 immer so ?
Fuer 12 Monate: Der Erwartungswert liegt bei 75 cm (das ist die 50%-Marke, aber der Erwartungswert ist 75 cm!).
97% der Kinder sind kleiner als 79.5 cm und nur 3% sind kleiner als 70.5 cm, das stimmt.
Der Abstand der 97%-Marke vom Erwartungswert betraegt Δx = 79.5 cm - 75 cm = 4.5 cm. Also ist die Standardabweichung σ = 0.5317 * 4.5 cm = 2.39 cm, auch richtig! Sehr gut :)
Die Konstante bleibt immer so (so lange es sich um eine Normalverteilung und eben die 97%-Marke handelt). Um solche Konstanten auszurechnen, benoetigt man eine Grundausbildung in Analysis. Hier eine Tabelle zum Nachschlagen, falls Du nochmal ueber aehnliche Aufgaben stolperst:
Umrechnungsfaktoren f des Abstands Δx zwischen der p-Marke und dem Erwartungswert bei einer Normalverteilung, sodass σ = f * Δx:
p f
0.90 0.780304
0.91 0.745848
0.92 0.711708
0.93 0.677603
0.94 0.643180
0.95 0.607957
0.96 0.571205
0.97 0.531690
0.98 0.486914
0.99 0.429858
Noch ein kleiner Nachtrag: Im zweiten Bild sollte an der y-Achse "Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)" stehen, um den korrekten Begriff zu verwenden.
Also zunächst vielen dank für ihre Hilfe 😊 Und nur damit ich es richtig verstanden habe: der erwartungswert muss bei 50% liegen (?) und ist bei 6 Monaten 66.5 cm (?) dabei ist die standardabweichung der Abstand von den graphen von 50% und 97% bzw. auch von 3% (?) 🤔 dabei meinten Sie auch man muss das mit 0.5317 multiplizieren und das interessiert mich jetzt schon warum 😅 ?