Mathe - Stochastikaufgabe?
Ich verstehe die Aufgabe nicht und bräuchte ein wenig Hilfe :(
Ein Würfel wird 100-mal geworfen. X zählt die Anzahl der Sechsen. a) berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von X. b) bestimmen sie das 2-Sigma-Intervall. Vergleichen Sie die Wahrscheinlichkeit des 2-Sigma-Intervalls mit dem Näherungswert, den die Sigma-Regel liefert.
Danke!!!
1 Antwort
Hallo,
Sei Y der normale Würfelwurf. Um zu zählen, würde ich die Indikatorfunktion I_{ Ereignis } verwenden. Diese Funktion hat den Wert 1, wenn das Ereignis in den Klammern eintritt und sonst 0, wenn es nicht eintritt. Unser Ereignis ist {Y = 6}, wir wir wollen also zählen, wie oft wir eine 6 gewürfelt haben. Wir haben also:
X = Summe I_{Y=6} (von n=1 bis 100)
Jetzt nehmen wir den Erwartungswert:
E[Summe I_{Y=6} (von n=1 bis 100)]
Wir nützen die Linearität des Erwartungswert aus und erhalten:
Summe E[I_{Y=6}] (von n=1 bis 100)]
Der Erwartungswer der Indikatorfunktion ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses. Also
Summe P(Y=6) (von n=1 bis 100)]
Wir erhalten somit
E[X] = 100*P(Y=6) = 100*1/6 = 16 + 2/3
Für die Varianz/Standardabweichung nützen wir die Formel für Zufallsvariablen
Var(Y)=E(Y^2)-E(Y)^2
Wir berechnen zuerst die Varianz für 1 Würfelwurf eine 6 zu haben:
Var(I_{Y=6})=E(I_{Y=6}^2)-E(I_{Y=6})^2.
Weil die Indikatorfunktion immer 1 ist gilt I_{Y=6}^2=I_{Y=6} somit
Var(I_{Y=6}) = E(I_{Y=6})-E(I_{Y=6})^2 = P(Y=6)-P(Y=6)^2 = 1/6-1/36 = 5/36
Jetzt nützen wir die Additivität der Varianz für unkorrelierte Zufallsvariablen und erhalten
Var(Summe I_{Y=6} (von n=1 bis 100)) = 100*5/36= 125/9
Die Standardabweichung ist sqrt(125/9)= 5*sqrt(5)/3