Wie heisst die kleinste Zahl mit 7-elementiger Teilermenge?
Ich habe diese Aufgabe von unserem Mathelehrer bekommen, doch es scheint unmöglich das zu lösen, ausser jemand hat von euch die Lösung?
LG, Karina
2 Antworten
Die Primfaktorzerlegung einer positiven natürlichen Zahl z ist
z = 2^z2 * 3^z3 * 5^z5 * ...
Ein Teiler hat die Form
t = 2^t2 * 3^t3 * 5^t5 * ...
Wegen t2 <= z2 gibt es für t2 genau z2 + 1 Möglichkeiten. (analog für die anderen Exponenten).
z hat also genau (z2 + 1) * (z3 + 1) * (z5 + 1) * ... Teiler
7 = (z2 + 1) * (z3 + 1) * (z5 + 1) * ...
Da z minimal werden soll, wählen wir z2 = 6 und z3 = z5 ... = 0
Daraus folgt z = 64.
In meiner Antwort schrieb ich stellenweise e2, e3, e5 statt z2, z3, z5. Das habe ich korrigiert.
Anmerkungen:
- In meiner Antwort schrieb ich stellenweise e2, e3, e5 statt z2, z3, z5. Das habe ich korrigiert.
- Ich war davon ausgegangen, das es genau 7 Teiler sein sollen.
- Das funktioniert nur, weil 7 eine Primzahl ist. Nur dann ist genau eins der zi = 6 und die anderen zwengsweise 0.
Danke auch nochmals, vielleicht noch eine Frage, da du das, wie man merkt, gut verstehst: Was wäre die zweitkleinste Zahl, die genau 7 Teiler hat? Ich habe viele Versuche gemacht, bin aber gescheitert. Danke nochmals
Habe es gerade herausgefunden, 225, danke nochmal!
Ich komme aber auf 3^6 = 729.
Genau eins der zi ist 6, die anderen 0.
Damit ist 2^6 die kleinste Zahl mit genau 7 Teilern, 3^6 = 729 die zweitkleinste, 5^6 = 15625 die drittkleinste ...
Stimmt! Da hab ich mich aber richtig vertan! Danke!
Ausprobieren.
Wenn Du 3 unterschiedliche Primfaktoren hast, z.B. 3,5,7, hast Du die Teiler 3,5,7, sowie 15,21,35. Das sind also 6 Teiler. Die Zahl selbst ist aber auch ihr eigener Teiler, also kommt noch der Teiler 105 dazu. Macht dann 7.
Gibt es kleinere? Ahja, natürlich kannst Du 2,3,5 benutzen. Bei Doppeltverwendung hast Du weniger Teiler.
Aber man ja durch 1 auch noch teilen, also werden aus 7 8
aber danke
Wenn Du 3 unterschiedliche Primfaktoren hast, z.B. 3,5,7, hast Du die Teiler 3,5,7, sowie 15,21,35. Das sind also 6 Teiler. Die Zahl selbst ist aber auch ihr eigener Teiler, also kommt noch der Teiler 105 dazu. Macht dann 7
Mit der 1, die du vergessen hast, sind es 8
Vielen, vielen Dank, hilft sehr!!!