Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit bei einem hypothetischen Würfel mit unendlich vielen Seiten , dass man nacheinander dieselbe Seite nach dem Wurf bekommt?
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit bei einem hypothetischen Würfel mit unendlich vielen Seiten , dass man nacheinander dieselbe Seite nach dem Wurf bekommt ?
6 Antworten
Eine Gleichverteilung auf einer diskreten unendlich großen Menge ist nicht definierbar, da sie sonst die Kolmogorow Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie verletzt, die eine Wahrscheinlichkeitsverteilung erfüllen muss. Mathematisch gesehen macht es somit keinen Sinn, über so einen Würfel zu reden.
Du musst dazu präziseren, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Seite gewürfelt wird. Bei unendlich vielen Seiten kann nicht jede Seite die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Man müsste z.b. eine geometrische Verteilung annehmen. Wenn diese Zuordnung gemacht ist, kann man die gesuchte Wahrscheinlichkeit ähnlich wie beim normalen Würfel berechnen.
Die Frage ist schwieriger zu beantworten, aber ich versuch's mal vereinfacht.
Unten wurde schon beschrieben, dass wir einen Würfel mit unendlich vielen Seiten und gleichen Wahrscheinlichkeiten für alle Seiten nicht nach den modernen Vorstellungen der Stochastik definieren können. Das liegt daran, dass es in der Mathematik verschiedene Arten des Begriffes "unendlich" gibt. Wichtig sind davon besonders zwei Arten:
1) der Begriff "abzählbar unendlich". Das ist eine Größenordnung für Objekte, von denen es zwar unendlich viele gibt - du erreichst aber alle dieser Objekte, indem du sie von "1" an durchnummerierst (bzw. "abzählst"). Die natürlichen Zahlen sind beispielsweise abzählbar, da mit der jeweiligen Zahl selber eine einfache Nummerierung gegeben ist (d.h. die Zahl 47932 ist beispielsweise auch die 47932te Zahl in deiner Aufzählung). In der modernen Stochastik fordert man, dass Wahrscheinlichkeiten für komplett verschiedene Ereignisse addieren können muss, um die Wahrscheinlichkeit für das "kombinierte Ereignis" zu erhalten (z.B. P(Würfeln von 1 oder 2) = P(Würfeln von 1) + P(Würfeln von 2)), und zwar, wenn bis zu abzählbar unendlich viele Ereignisse involviert sind. Damit ergibt sich dann sofort, dass ein Würfel mit abzählbar unendlicher Seitenzahl, wie du ihn dir vorstellst, nicht möglich ist: wenn jede Seite dieselbe Wahrscheinlichkeit p hat, ist die Wahrscheinlichkeit, "irgendeine Seite zu würfeln", offensichtlich 1 (denn irgendeine Seite wird immer gewürfelt), dieses Ereignis lässt sich aber auch als abzählbar unendliche Kombination der Ereignisse "Seite x wird gewürfelt" formulieren (x steht jeweils einmal für eine der Würfelseiten) - und jedes dieser Ereignisse hat natürlich Wahrscheinlichkeit p. Also müsste 1 das Ergebnis einer unendlichen Summe von p sein, und das ist für kein p möglich (bei p = 0 kommt 0 als Summe raus, bei p > 0 stattdessen +unendlich).
2) daneben wichtig ist der Begriff "überabzahlbar unendlich". Der ist mathematisch nicht mehr so einfach zu definieren, ist aber vereinfacht gesagt eine Größenordnung über "abzählbar unendlich". Man kann zeigen, dass die reellen Zahlen beispielsweise überabzählbar unendlich sind. Da man die Summationsregel für Ereignisse nur für abzählbar viele Ereignisse gleichzeitig fordert, sind Wahrscheinlichkeiten über beispielsweise die reellen Zahlen deutlich unintuitiver: es ist beispielsweise plötzlich vollkommen normal, dass jede einzelne Zahl Wahrscheinlichkeit 0 hat. Das ist dann aber auch kein Widerspruch mehr, da das Ereignis "irgendeine reelle Zahl wird gewürfelt" eben keine abzählbar unendliche Kombination von "die Zahl x wird gewürfelt" ist (sondern nur noch eine überabzählbar unendliche). Ein Würfel mit überabzählbar vielen Seiten ließe sich daher witzigerweise definieren und wenn du immer und immer wieder hintereinander würfeln würdest, würdest du immer eine andere Seite herauskriegen.
Da die Division durch Unendlich in der Mathematik nicht definiert ist, gibt es keine Wahrscheinlichkeit dafür. Du kannst maximal einen Grenzwert für "Anzahl der Seiten gegen Unendlich" angeben und der ist Null.
Also ein Würfel hat per Definition immer nur sechs Seiten.
Was Du meinst ist ein Polyeder mit unendlichen vielen Seitenflächen. Der ist aber im Grenzübergang eine Kugel. Da diese Kugel unendlich viele Auflagepunkte hat (eine unendlich kleine Fläche) ist die Wahrscheinlichkeit gleich Null, dass die Kugel nach einer beliebigen Bewegung wieder auf dem gleichen Punkt zu liegen kommt.
Meinst du jetzt, wenn man die Kugel unendlich oft "rollt"?
(Anders als ein "Würfel mit unendlich vielen Flächen", wo die Seiten nummeriert werden können, kann auf der Kugel eine Gleichverteilung definiert werden, wo jeder Punkt die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, da es keine diskrete Menge ist, sondern eine Überanzählbare)
Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass der selbe Punkt zwei Mal vorkommt, wenn man es unendlich oft rollt 0.
Versteh ich das richtig? Eine Kugel hat auf der Oberfläche unendlich viele Punkte(Punkt ist eindimensional). Dann kann man diese Kugel unendlich lange rollen und die W bleibt 0, dass sie jemals wieder auf demselben Punkt erneut stehern nleibt - bzw diesen Punkt im Rollen wieder zeigt.
Und wenn man unendlich lange würfelt? (Danke für den Hinweis mit dem Polyeder.)