Wie geht man bei dieser Aufgabe vor?

Gegeben ist die Funktionenschar f t (x) = x4 − tx2 + 2 (t > 0)

Gibt es einen Wert für t, so dass ein Minimum auf der x - Achse liegt?

Answer 1

[cockslayer]

$y=x^4-tx^2+2$ $\frac{dy}{dx}=4x^3-2tx$ $0=4x^3-2tx$ An den Minima ist die Steigung eben =0. Stelle nun nach x um, um die x-Werte der Minima zu erfahren. Dividiere dazu durch x. x=0 kannst du als Minima ausschließen, da es sich hier lediglich um das lokale Maximum bei (0,2) handelt. Bei einigen Werten für t kleiner als 0, wird sich auch bei (0,2) ein Minimum befinden, aber dieses wird nie auf der x-Achse liegen.

$0=4x^2-2t$ $x_{Minima\ 1,2}=\pm\sqrt{\frac{t}{2}}$ Jetzt sind aber nur Minima gesucht, die gleichzeitig Nullstellen sein sollen.

$0=x^4-tx^2+2$ Um hier nach x aufzulösen und den x-Wert der Nullstellen zu erhalten, kann man substituieren.

$z=x^2$ $0=z^2-tz+2$ $z_{1,2}=\frac{t}{2}\pm\sqrt{\frac{t^2}{4}-2}$ Resubstituiere:

$x=\pm\sqrt{z}$ $x_{Nullstelle\ 1,2,3,4}=\pm\sqrt{\frac{t}{2}\pm\sqrt{\frac{t^2}{4}-2}}$ Nun setzt du Minima und Nullstellen gleich und erhältst eine Gleichung, die du nach t auflöst.

$\pm\sqrt{\frac{t}{2}}=\pm\sqrt{\frac{t}{2}\pm\sqrt{\frac{t^2}{4}-2}}$ $\frac{t}{2}=\frac{t}{2}\pm\sqrt{\frac{t^2}{4}-2}$ $0=\pm\sqrt{\frac{t^2}{4}-2}$ $0=\frac{t^2}{4}-2$ $t^2=8$ $t_{1,2}=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}\approx\pm2.83$ Hierbei kannst du den negativen Wert für t ausschließen, da t ja größer als 0 sein soll.

Genau genommen wurde aber gefragt ob es einen Wert für t gibt, bei dem ein Minimum auf der x-Achse liegt. Bei unserem errechneten Wert liegen jedoch beide Minima auf der x-Achse.

Comments

[emma4834]

Gibt es vielleicht auch einen einfacheren Weg ? Das mit dem substituieren etc hab ich noch nie gemacht und ich denke das wird auch nicht von mir verlangt, wäre echt toll wenn du es mir noch auf einem anderen Weg erklären könntest :)

[cockslayer]

@emma4834

Mir fällt leider kein anderer Weg ein. Das Problem ist die Gleichung 4. Grades (man nennt sowas auch quartische Gleichung) für die es zwar eine allgemeine Lösungsformel gibt (sowas wie die pq-Formel für quadratische Gleichungen), die aber recht kompliziert ist.

Substitution ist einfach. Du kannst sie zum Lösen quartischer Gleichungen benutzen, wenn in ihr nur ein x vom Grad 4 und eines vom Grad 2 vorkommt. Z.B.:

0 = x⁴ + x² + a

Das ist das gleiche wie

0 = (x²)² + x² + a

Jetzt ersetzt du das x² einfach durch eine Variable z

0 = (z)² + z + a

Jetzt hast du aus der quartischen Gleichung eine quadratische Gleichung gemacht, die du mit der pq-Formel lösen kannst.

z = -0.5 ±√0.25-a

Jetzt hast du 2 Werte für z.

Z.B. plus 4 und minus 4.

Da du aber x herausfinden willst und nicht z, musst du die Substitution danach wieder rückgängig machen. Vorhin wurde gesagt, dass x² das gleiche wie z sein soll.

Dann ist x das gleiche wie plus √z oder minus √z. D.h. im Beispiel ist x dann +2 und -2. Die Unterscheidung der Vorzeichen ist wichtig, da (2)² aber auch (-2)² 4 ergibt.

Schau dir am besten ein Video von Daniel Jung auf yt an.

Answer 2

[Jangler13]

1. Leite die Ableitung nach x ab.

2. Bestimme die Nullstellen x_0 der Ableitung.

3. Setze x_0 in die funktionsgleichung ein.

4. Da die extremstelle auf der x-Achse liegen soll, setzt du den Funktionswert gleich 0 und löst nach t auf.

5. Prüfe an Ende ob es sich dann wirklich um ein Minimum handelt

Comments

[emma4834]

Also einfach ganz normal die Extrempunkte berechnen und dann für y 0 und für x den x-Wert des Extrempunktes, um t zu bestimmen, richtig?

[Jangler13]

@emma4834

Ja