Wie funktioniert "Ziehen OHNE Zurücklegen MIT Beachtung der Reihenfolge"?
Hallo zusammen! Ich habe eine Frage in Mathe. Es geht um ein typisches Thema in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, bspw. dass sich in einer Urne 5 verschieden farbige Kugeln befinden, wovon jetzt zwei gezogen werden sollen. Die Aufgabe gibt vor, dass OHNE Zurücklegen und MIT Beachtung der Reihenfolge gezogen wird. Ich habe zwei allgemeine Fragen:
1) Was bedeutet dieses "MIT Beachtung der Reihenfolge"? Das verstehe ich absolut nicht. Inwiefern wird hier eine Reihenfolge berücksichtigt? Was unterscheidet das dazu, wenn die Reihenfolge NICHT berücksichtigt wird. Wo ist der Unterschied?
2) Bei der Herleitung der Formel zum allgemeinen Ausrechnen verstehe ich den hinteren Teil nicht, das hier: [...]*(n-k+1) Insgesamt lautet die Formel ja n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1) = n!/(n-k)! Den vorderen Teil n*(n-1)*(n-2)*... verstehe ich noch, das leuchtet ein, aber warum kommt zum Schluss dann dieses "Komische" [...]*(n-k+1)? Was hat das zu bedeuten?
Vielen Dank für eure Hilfe! Ich habe es leider selbst mit sämtlichen YouTube-Videos immer noch nicht verstanden.
1 Antwort
Hallo,
es gibt in der Kombinatorik vier Grundmodelle:
Ziehen mit/ ohne Zurücklegung mit/ ohne Beachtung der Reihenfolge.
Ein Beispiel für Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge ist die Ziehung der Lottozahlen.
Eine Kugel, die aus der Trommel gezogen wurde, wird nicht wieder zurückgelegt, so daß keine Zahl in der Reihe doppelt oder mehrfach vorkommen kann.
Die Reihenfolge, in der die Zahlen gezogen wurden, spielt keine Rolle.
Du mußt nur die sechs Zahlen angekreuzt haben, die letztendlich gezogen wurden, um zu gewinnen. Du mußt nicht vorhersagen, welche der sechs Zahlen als erste, zweite usw. gezogen wurde.
Auf diese Weise kommst Du auf (n über k), also bei 6 aus 49 auf 49 über 6 Möglichkeiten, einen Lottoschein auszufüllen. Eine davon entspricht der Ziehung.
(n über k) ist die Kurzschreibweise für n!/[k!*(n-k)!].
Wäre die Reihenfolge auch wichtig, würden sich Deine Gewinnchancen erheblich verschlechtern. Wenn die richtigen Zahlen zum Beispiel 2,4,6,8,10,12 wären, könntest Du sie auf 6!=720 Arten anordnen, zum Beispiel 4,8,2,6,12,10 oder so.
Die gleichen Zahlen in anderer Reihenfolge.
Du müßtest die Anzahl der Kombinationen also mit k! multiplizieren, so daß Du auf die Formel n!/(n-k)! kommst, denn k! kürzt sich weg.
Das wäre das Modell ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolgen.
Wenn Du die Kugel nach dem Zug jedesmal wieder in die Trommel wirfst, hast Du bei jedem Zug n Möglichkeiten, eine Kugel auszuwählen.
So kämst Du auf n^k Möglichkeiten, wobei hier die Reihenfolge wiederum eine Rolle spielte. Auch eine Tippreihe wie 3,5,18,3,6,6 wäre jetzt möglich.
Das wäre das Modell Ziehen mit Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge.
Mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge wäre so, als würde man beim Lotto jede Kugel direkt nach dem Ziehen wieder zurücklegen; diesmal wäre es aber egal, welche Zahl als erste, zweite, dritte... gezogen wird.
Wenn Du vom Grundmodell n!/[k!*(n+1)!] ausgehst, aber nach dem Ziehen die Kugel zurücklegst, legst Du insgesamt k-1 Kugeln wieder zurück, denn nach dem letzten Zug ist es ja egal, was mit der letzten Kugel geschah, die Ziehung ist zu Ende.
Die Gesamtheit von n Kugeln wird also um k-1 Kugeln erhöht.
Deswegen sind es nicht mehr (n über k), sondern (n+k-1 über k) Möglichkeiten.
So hast Du die Formeln für alle vier Modelle der Kombinatorik zusammen.
Herzliche Grüße,
Willy