Wie bestimme ich die Fallhöhe in der die Epot und Ekin gleich sind?
Ein Stein mit der Masse m=250g fällt von einer 100m hohen Brücke.
Bestimmen Sie die Fallhöhe, in der die potenzielle Energie gleich der kinetische Energie ist.
Weiß jemand wie man dort vorgehen muss und hat einen Lösungsvorschlag?
2 Antworten
Zwei alternative Lösungswege, wovon einer vielleicht intuitiver ist als der andere, die aber natürlich beide zum selben Ergebnis führen:
Erste Variante:
Wir leiten uns eine Formel her, mit der wir die Geschwindigkeit des Steins in der Höhe h berechnen können. Dann können wir nämlich
E_kin(h) = 1/2 * m * v(h)^2
und E_pot(h) = m * g * h
gleichsetzen und nach h auflösen.
Da es sich um einen freien Fall handelt, wird der Stein konstant mit der Erdbeschleunigung g beschleunigt. Es gilt also:
v = g * t
(normalerweise kennt man diese Formel natürlich als v = a * t aber in diesem Fall ist a = g ja die Erdbeschleunigung)
Nun kennen wir allerdings t nicht. Wir benötigen also noch eine zweite Formel die man für konstante Beschleunigungen oft braucht:
s = 1/2 * g * t^2
(auch diese Formel sollte als s = 1/2 * a * t^2 bekannt sein, wobei eben immernoch a = g gilt)
s ist dabei die Strecke die der Stein ber der konstanten Beschleunigung g nach der Zeit t zurückgelegt hat. Wenn wir nun sagen der Stein beginnt bei einer Höhe von h_0 (= 100 Meter) zu Fallen, dann kann man sich leicht überlegen, dass
s = h_0 - h
gilt, wobei h eben die momentane Höhe des Steins ist, nachdem er die Strecke s schon gefallen ist. (Wenn das nicht sofort klar ist, einfach mal ne Skizze zeichnen dann sieht man das).
Wir schreiben also
h_0 - h = 1/2 * g * t^2
Nun lösen wir noch die obere Formel v = g * t nach t auf und setzen diese dann in die untere ein um eine Gleichung zu erhalten, die nicht mehr von t abhängt und nur noch die Größen v, g, h und h_0 enthält. Da wir g und h_0 bereits kennen wird uns diese erlauben den gesuchten Zusammenhang zwischen v und h zu bestimmen:
v = g * t
t = v/g
h_0 - h = 1/2 * g * t^2
h_0 - h = 1/2 * g * (v/g)^2 = 1/2 * g * v^2 / g^2 = 1/2 * v^2 / g
Nun lösen wir noch nach v auf, denn das wollen wir ja wissen:
2g * (h_0 - h) = v^2
v = Wurzel( 2g * (h_0 - h) )
Also wissen wir jetzt:
v(h) = Wurzel( 2g * (h_0 - h) )
Das können wir nun ganz oben in unsere Formel für die kinetische Energie einsetzen:
E_kin(h) = 1/2 * m * v(h)^2 = 1/2 * m * [ Wurzel( 2g * (h_0 - h) ) ]^2 = 1/2 * m * 2g * (h_0 - h) = m * g * (h_0 - h)
Nun müssen wir noch die kinetische Energie und die potentielle Energie gleichsetzen um die Höhe zu bestimmen, bei der beide eben gleich sind:
E_pot(h) = E_kin(h)
m * g * h = m * g * (h_0 - h)
h = h_0 - h
2h = h_0
h = h_0 / 2
Alternative schnellere Lösung:
Energie wird beim Fall von potentieller in kinetische umgewandelt.
Vor dem Fall ist die potentielle Energie noch maximal und hat den Wert
E_pot(h_0) = m * g * h_0
Wenn sich der Stein bereits in einer Höhe h befindet die kleiner als ist als h_0 (wenn er also bereits ein Stückchen gefallen ist), dann gilt:
E_pot(h) = m * g * h < m * g * h_0 = E_pot(h_0)
Da die Energie natürlich nicht verloren gegangen ist, sondern in kinetische Energie umgewandelt wurde, können wir diese berechnen indem wir uns die Energiedifferenz anschauen. Diese Differenz ist nämlich natürlich genau die Energie die beim Fall in die kinetische Energie umgewandelt wurde:
E_kin(h) = E_pot(h_0) - E_pot(h) = m * g * h_0 - m * g * h = m * g * (h_0 - h)
Jetzt kennen wir also die kinetische Energie in der Höhe h. Nun einfach wieder die beiden Energien gleichsetzen und wieder nach h auflösen:
E_pot(h) = E_kin(h)
m * g * h = m * g * (h_0 - h)
h = h_0 - h
2h = h_0
h = h_0 / 2
Logischerweise kommt natürlich wieder das gleiche raus wie bei der ersten Variante.
Gleich groß: Wkin ist dort 1/2 Wpot (max)
Weil die Summe der beiden Energien konstant ist. Am Anfang Epot = Epot (halbe Höhe) + Ekin.
1/2 + 1/2 = 1
Könnten sie mir erklären, warum dies so ist?