Wie berechnet man diesen Höhenunterschied?
Von Beinhausen nach Birkensdorf führt eine 3,5 km lange Strasse,
deren Steigung durchschnittlich 8 % beträgt.
Berechne den Höhenunterschied der beiden Ortschaften.
4 Antworten
Skizze:
Gesucht ist der Höhenunterschied Δy.
Die Steigung beträgt 8 %.
D.h. es ist Δy/Δx = 8 % = 0,08.
Dementsprechend ist Δy = 0,08 ⋅ Δx.
Mit Satz des Pythagoras erhält man...
(Δx)² + (Δy)² = (3,5 km)²
Setzt man dort Δy = 0,08 ⋅ Δx ein, erhält man...
(Δx)² + (0,08 ⋅ Δx)² = (3,5 km)²
(Δx)² + 0,08² ⋅ (Δx)² = (3,5 km)²
(1 + 0,08²) ⋅ (Δx)² = (3,5 km)²
(Δx)² = (3,5 km)²/(1 + 0,08²)
Δx = (3,5 km)/√(1 + 0,08²)
Setzt man dies in Δy = 0,08 ⋅ Δx ein, erhält man...
Δy = 0,08 ⋅(3,5 km)/√(1 + 0,08²)
D.h. es ist...
Antwort: Der Höhenunterschied beträgt etwa 0,28 km.
dazu muß man wissen, was diese 8%ige Steigung bedeutet.
das sind 8 cm Höhe auf einer Strecke von 100 cm - oder 8 m auf 100m - oder 80 m auf 1000m
den Rest solltest du durch die 4 Grundrechenarten hinbekommen.
Es ist die Stecke in der Waagerechten. Also die 100m-Strecke ist die lange Kathete, der Höhenunterschied 8m ist die kurze Kathete und die echte Fahrstrecke (was du auf dem Tacho siehst) ist die Hypothenuse.
Deine Zwischenfrage ist sogar sehr relevant für diese Aufgabe. Man könnte denken dass hier die 3,5 km die "Grundseite" ist (wie du sie nennst). Es ist aber die Fahrstrecke, wie es mihisu in seiner Skizze schön dargestellt hat.
Natürlich ist sie relevant. Warum sollte ich sonst fragen?
Mihisu widerspricht Deiner Lösung. Er nimmt die 3,5 km für die Hypotenuse an, meine 'Grundseite' des Dreiecks, Du hast sie für die die längere Kathete angenommen. Für den Höhenunterschied, die kürzere Kathete, ergibt sich ein anderer Wert.
(Ich war eben von dieser Frage schon weg, die Antwort von mihisu hatte ich gar nicht mehr gesehen.)
Da haben wir uns mißverstanden. Ich hatte geschrieben, das die 3.5km die Fahrstrecke (Hypothenuse) ist. Ich hatte das Wort Grundseite von dir anders verstanden als du es gemeint hattest. Weil es in der Skizze (siehe mihisu) unten liegt, dachte ich, dass du diese Seite meinst.
Der Begriff Grundseite ist für rechtwinklige Dreiecke nicht fest definiert, sondern nur für gleichschenklige Dreiecke. Oftmals bezeichnet man bei beliebigen Dreiecken die Grundseite als die, die auf der Skizze unten ist, aber da ist natürlich unsauber. In rechtwinkligen Dreiecken nimmt man daher die Begriffe Hypothenuse und Kathete.
Mhh... ja. Bitte nicht falsch verstehen, ich will nicht nerven!
Dennoch: Du hast die 3,5 km für die Waagerechte angenommen, also für die längere Kathete.
Mihisu hat die 3,5 km für die Steigung, die Hypotenuse, an genommen und dann zunächst einmal die längere Kathete berechnet. Dadurch bekommt Ihr unterschiedliche Ergebnisse für den Höhenunterschied.
An sich interessiert mich die Rechenaufgabe gar nicht, weil sie mir nicht fremd ist und ich sie selbst lösen kann.
Mich interessiert, worauf sich die 8 % beziehen, wenn ich auf der Straße an einem solchen Verkehrsschild vorbeifahre.
Nachtrag: Mihisu ist hier der einzige, der die 3,5 km für die Hypotenuse annimmt.
Es macht bei solchen Straßenlängen aber wenig Unterschied, ob du die Straßenlänge als längere Kathete oder Hypotenuse nimmst, da diese nahezu gleich lang sind, dadurch dass die kürzere Kathete im Vergleich dazu wesentlich kürzer ist.
Mit den 3,5 km als längere Kathete erhält man exakt 280 m als Höhenunterschied, als Hypotenuse gerundet 279 m.
"Dennoch: Du hast die 3,5 km für die Waagerechte angenommen, also für die längere Kathete." ---->> Das sehe ich niergendwo.
Ich habe oben in meiner ersten Antwort (an der diese lange Diskussion hängt) lediglich erklärt, was eine 8%ige Steigung ist. Das ist richtig und dazu stehe ich auch. Die oben in der Frage genannten 3,5km habe ich nicht erwähnt.
Den Unterschied habe ich auch an einer anderen Stelle (unter der Antwort von Bwiwijwu) deutlich gemacht. Ich habe jetzt alle meine Antworten und Erwiderungen nochmal durchgelesen und alles ist richtig und konsistent.
x% Steigung bedeutet, in einer Waagerechten von 1m (oder 100m) steckt ein Höhenunterschied von x cm (oder x m). In der Aufgabenstellung oben ist mit den 3,5 km aber nicht die Waagerechte gemeint, sondern die Fahrstrecke, also die echt zurückgelegte Strecke Asphalt und damit in einer theoretischen Skizze die Hypothenuse.
Erwiderung auf: "Mihisu ist hier der einzige, der die 3,5 km für die Hypotenuse annimmt." ---->> Schaue meinen Beitrag unter die Antwort vonBwiwijwu. Da existierte schon der Text von mihisu, deshalb habe ich ihn zitiert. Die Überlegung war jedoch selbst gemacht.
Praktisch gesehen ist das völlig richtig.
Mathematisch ist es ein Unterschied von 1/√(1 + 0,08²).
In meiner Antwort ging es jedoch gar nicht um die Korrekte Errechnung der Lösung, sondern ich hatte nur reklärt, was x% Steigung bedeutet und die Lösung dann dem Frager überlassen. - schon deshalb, wei ich nicht so schöne Skizzen malen kann wie mihisu. Und ohne Skizze kann man das Ganze kaum erklären.
Beinhausen = Ort0
Birkensdorf = Ort1
8% Höhenunterschied = 8m Höhe auf 100m Entfernung
Den Rest solltest du selbst hinbekommen
3,5 km mal 8% also 3,5*0,08 gleich 0,28 km Höhe oder halt 280 Meter.
Du kommst zwar auf das annähernd richtige Ergebnis, aber die Rechnung ist falsch. Schau mal, was mihisu vorgerechnet hat. so stimmt es. Die 3.5 km ist die Fahrstrecke (Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks). Deine rechnung geht davon aus, dass es die Luftlinie (Differenz der geographischen Koordinaten, bzw. Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks) ist.
Dein Ergebnis ist annähernd richtig, weil √(1 + 0,08²) annähernd = 1 ist (siehe Rechnung von mihisu)
Übrigens: In der Fahrschule lernt man es so, wie du gerechnet hast. Weils praktischer ist und der Unterschied im normalen Leben nicht relevant.
Der Mathematiker will´s aber genau haben.
Wahrscheinlich auch aus dem Grund, weil im echten Leben selten mal ne Straße schnurgerade den Berg hochgehen wird, sondern sich durch Kurven etc. immer etwas verlängern wird. Deshalb rechnet man vielleicht häufig einfach auch mit der Waagrechten statt der tatsächlichen Strecke.
Dabei frage ich mich immer, ob mit der 'Strecke' die auf der Straßenkarte - also in der Waagerechte - oder die auf dem Tacho - also sozusagen die Grundseite des rechtwinkligen Dreiecks - gemeint ist.