Wie berechnet man die vektorielle Addition von Geschwindigkeiten?
Hallo,
im Physikunterricht haben wir folgende Aufgabenstellung erhalten: Ein Schwimmer überquert einen überall 40m gleich breiten Fluss, der mit einer konstanten Fließgeschwindigkeit von 4km/h fließt. Berechnen Sie, wie weit er abgetrieben wird, wenn er mit einer Geschwindigkeit von 1km/h in einem Winkel von 120* zur Strömung schwimmt.
dazu habe ich bisher schon folgende Zeichnung angefertigt:
Kann mir jemand erklären, wie ich diese Strecke berechnen kann?
Vielen Dank und Grüße!
2 Antworten
Du müsstest hier nicht mal die Geschwindigkeitsvektoren addieren, sondern könntest auch die die Komponente des Schwimmers entlang des Flusses bestimmen und dann ganz normal mit der Flussgeschwindigkeit addieren.
Aber mit Vektoraddition geht es natürlich auch. Zuerst musst du natürlich ein Koordinatensystem festlegen. Sagen wir die x-Achse liegt entlang des Flusses und die y-Achse zeigt von Ufer zu Ufer. Zusätzlich musst du noch die Richtung festlegen. Vom Startufer zum Zielufer soll y größer werden und der Fluss fließt in die negative x-Richtung (deswegen wird 4 km/h dann negativ).
Der Fluss hat dann die vektorielle Geschwindigkeit v_F^ = (-4 km/h, 0). Der Schwimmer hat die Geschwindigkeit v_S^ = (a, b).
a und b, also die einzelnen Komponenten sind noch unbekannt, aber wir wissen, dass der Betrag des Vektors (die absolute Geschwindigkeit) 1 km/h betragen muss und dass a und b einen Winkel von 120 Grad aufweisen. Am besten eine Skizze vom Fluss anfertigen, x- und y-Achse einzeichnen und die 120 Grad.
=> Betrag (v_S^) = Wurzel aus (a^2 + b^2) = 1 km/h
Wenn du die Skizze gemacht hast solltest du erkennen, dass der Winkel zwischen a und b (180 Grad - 120 Grad) gleich 60 Grad ist (120 Grad war der Winkel zur Strömung). 180 Grad ist einfach der komplette Winkel vom Ufer (als einer Geraden).
Du erhältst dann für a und b ein rechtwinkliges Dreieck für das gilt:
tan (60 Grad) = b/a.
Wir haben nun 2 Gleichung:
tan (Pi/3) = b/a (I) und a^2 + b^2 = 1 (km/h)^2 (II)
(I) => b = tan (Pi/3) * a in (I) einsetzen
=> a^2 + tan^2(Pi/3) * a^2 = 1
=> a^2 (1 + tan^2 (Pi/3)) = 1
=> a = Wurzel aus (1/(1 + tan^2(Pi/3))) = 0.5 km/h
=> b = tan (Pi/3) * 0.5 = 0.87 km/h
Der Gesamtvektor wäre dann v_F^ + v_S^ = (- 4 km/h + 0.5 km/h, 0.87 km/h) = (-3.5 km/h, 0.87 km/h).
Die Gesamtkomponente entlang des Flusses lautet also v_G_x = -3.5 km/h.
Der Schwimmer braucht mit 0.87 km/h bei einem 40 m breiten Fluss (v=s/t => t = s/v = 40 m / (0.87* 1000m/3600s) = 165.5 s.
In dieser Zeit wird er dann (s = v*t = -3.5 km/h * 165.5 s = ) 161 Meter abgetrieben.
Das wäre jetzt die ausführliche (ich hoffe ich hab mich nirgends verrechnet) Variante mit Bestimmung des Gesamtvektors zuerst.
Wenn du sin(120) als y Komponente verwendest und cos(120) als x Komponente, dann erhältst du einen Vektor der eine Länge von 1 hat und einen Winkel von 120 Grad.
Dann musst du die Vektoren noch addieren und dann den Dreisatz anwenden.
cos(120) = -0,5
cos(60) = 0,5
Da er gegen die Strömung schwimmt, muss die x Komponente seiner Geschwindigkeit negativ sein.
Sollten es nicht 60 Grad sein? 120 Grad war der Winkel zwischen Schwimmer und Strömung. Er schwimmt ja etwas gegen der Strom, so dass der Winkel (180 - 120) zu nehmen sein sollte.