Sich berührende Kreise. Konstruktion?
Liebe Community,
durch eine Frage hier auf GF bin ich auf das Problem sich berührender Kreise gestoßen.
Bitte betrachtet die angefügte Zeichnung.
Die Strecke AB ist der Durchmesser eines Kreises mit dem Radius r (hier: 4,5 cm) und dem Mittelpunkt M.
Auf derselben Strecke liegen die Mittelpunkte M1 und M2 zweier Kreise mit dem Radius r/2.
Nun gibt es einen dritten Kreis mit dem Mittelpunkt M3 und dem Radius x, der so beschaffen sein soll, daß er die Kreise um M1 und M2 von außen, sowie den Kreis um M von innen berührt.
Mit Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks M1-M-M3 ist leicht zu berechnen, daß x=r/3, da gilt:
(r/2)²+(r-x)²=(r/2+x)².
Mein Problem war, ob es möglich ist, diesen Kreis (M3; x) auch durch eine Konstruktion zu finden. Meine Mathebücher ließen mich bezüglich dieser Frage im Stich, im Internet fand ich auch nichts Gescheites, so daß ich selbst ein wenig herumprobiert habe.
Meine Idee: Von M aus ziehe ich eine Senkrechte zu AB. Den Schnittpunkt mit Kreis (M;r) nenne ich E.
Ich verbinde A und B mit E, so daß ein gleichschenkliges Dreieck entsteht.
Nun ziehe ich Senkrechten durch M1 und M2 zu AB. Die Schnittpunkte mit den Kreisen um M1 und M2 verbinde ich mit einer Parallele zu AB. Die Schnittpunkte mit den beiden Strecke M1E und M2E nenne ich C und D.
So erhalte ich das Dreieck C-D-E. Dessen Schwerpunkt (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden) ist M3, der Mittelpunkt des gesuchten Kreises (M3; x).
x ist hier 1,5 cm, also ein Drittel von r (4,5 cm), deckt sich also exakt mit dem errechneten Wert.
Kennt jemand von Euch diese Konstruktion? Haben diese sich berührenden Kreise einen bestimmten Namen? Weiß jemand, wieso ausgerechnet der Schwerpunkt des Dreiecks C-D-E der Mittelpunkt des gesuchten Kreises ist?
Herzlichen Dank für Eure Antworten,
Willy
