Wie berechne ich den Winkel eines Dreiecks im Kreis?
Das erste Bild zeigt die Aufgabe: Gesucht wird der rote Winkel φ.
Im zweiten Bild ist die Lösung: "Delta", "Epsilon" und "Gamma" ergeben zusammen 90° bzw. φ + ε = 90° - δ. Wie kommt man auf diese Formel?
Ps. Ich komme zwar auch auf das Ergebnis φ = 15 aber über lange Umwege. Gerne hätte ich gewusst wie man aber auf die Formel φ + ε = 90° - δ kommt.
2 Antworten
Als Hilfslinie würde ich den dritten Radius, also die Linie vom Kreismittelpunkt zum Schnittpunkt der Sehnen mit dem Kreis eintragen. Es entstehen zwei gleichschenklige Dreiecke.
Eine Lösung ist über die Winkelsumme im Viereck - oder noch etwas kürzer - über die Winkelsumme im Dreieck möglich.
φ + ε + (δ + φ + ε + δ) = 180°
φ + ε = 90° - δ
Vielen Dank. Genau das was Tunik geschrieben hat in der Kürze
Ich nenne den Scheitelpunkt von Delta und Phi D, den Scheiteplunkt von Epsilon E, den Kreismittelpunkt M und den Punkt rechts unten A. (Wo Du 123° rangeschrieben hast.)
Das Dreieck DEM ist gleichschenklig, also Winkel MED = Delta.
Das Dreieck DAM ist gleichschenklig, also Winkel MAD = Delta + Phi
Das Dreieck AEM ist gleichschenklig, also Winkel EAM = Epsilon + Delta
Die Summe der Winkel MAD und EAM ist Winkel EAD = Phi + Epsilon + 2*Delta
Die Innenwinkelsumme im Dreieck AED ist dann EAD + Phi + Epsilon = 180°
2*Phi + 2*Epsilon + 2*Delta = 180°
Phi + Epsilon + Delta = 90°
Hallo Tunik, ich bin dir unsagbar Dankbar! Grübel schon seit Tagen an dieser Aufgabe...jetzt wo ich es weiß, ist es einfach...vielen Dank für die ausführliche und sehr gute Erklärung!